Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é a integral de
em relação a
. Isso está no tópico de cálculo integral, mais especificamente em integrais de funções polinomiais com raiz quadrada. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a regra de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. A função que estamos integrando é
, que pode ser escrita como
. Isso já deixa mais claro o que precisamos integrar.
Passo 3
Agora, vamos usar a substituição para facilitar a integral. Vamos definir uma nova variável
igual a
. Então:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Com essa substituição, nossa integral original
fica em termos de
:
Ou seja, a gente simplificou a integral para uma forma mais fácil de integrar.
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Nesse caso,
, então:
Passo 6
Finalmente, vamos voltar à variável original
substituindo
por
:
Resposta
A integral de
é:
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
f) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
f)
Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
Resolva as integrais: