Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Isso está no tópico de cálculo integral, mais especificamente em integrais de funções polinomiais com raiz quadrada. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a regra de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. A função que estamos integrando é , que pode ser escrita como . Isso já deixa mais claro o que precisamos integrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição para facilitar a integral. Vamos definir uma nova variável igual a . Então:
Isso significa que a derivada de em relação a é:

Passo 4

Com essa substituição, nossa integral original fica em termos de :
Ou seja, a gente simplificou a integral para uma forma mais fácil de integrar.

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . Sabemos que:
Nesse caso, , então:

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo por :

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
f) e . Rotacione em torno do eixo .
Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
Resolva as integrais: