Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
g)
. Rotacione
em torno da reta
.
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do cálculo de volume de um sólido de revolução. A gente tem uma região
definida pelas desigualdades
e precisamos girar essa região em torno da reta
para encontrar o volume resultante. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é ótimo para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção em mãos, sabemos que vamos integrar de
até
. Agora, vamos visualizar o que acontece quando giramos a região em torno da reta
. Usaremos o método dos anéis (washers), que considera a diferença entre os raios externo e interno ao rotacionar.
Passo 5
Identificamos as funções que definem os limites superior e inferior da região:
- Superior:
- Inferior:
Para o método dos anéis, a área de cada anel é dada por:
onde:
-
é o raio externo (distância da curva superior à reta de rotação) -
é o raio interno (distância da curva inferior à reta de rotação)
Passo 6
Calculamos os raios:
Como estamos lidando com áreas, podemos remover os valores absolutos:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na fórmula da área e integramos de 1 a 5:
Vamos expandir as expressões:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculamos cada termo para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraímos os valores para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais:
Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
j) é a região limitada pelas retas
e
, e pelo gráfico de
. Rotacione
em torno do eixo
.
j)
Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de
.