Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
g) . Rotacione em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do cálculo de volume de um sólido de revolução. A gente tem uma região definida pelas desigualdades e precisamos girar essa região em torno da reta para encontrar o volume resultante. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é ótimo para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Então, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção em mãos, sabemos que vamos integrar de até . Agora, vamos visualizar o que acontece quando giramos a região em torno da reta . Usaremos o método dos anéis (washers), que considera a diferença entre os raios externo e interno ao rotacionar.

Passo 5

Identificamos as funções que definem os limites superior e inferior da região:
  • Superior:
  • Inferior:
Para o método dos anéis, a área de cada anel é dada por:
onde:
  • é o raio externo (distância da curva superior à reta de rotação)
  • é o raio interno (distância da curva inferior à reta de rotação)

Passo 6

Calculamos os raios:
Como estamos lidando com áreas, podemos remover os valores absolutos:

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula da área e integramos de 1 a 5:
Vamos expandir as expressões:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculamos cada termo para e :
Para :
Para :

Passo 9

Subtraímos os valores para obter o volume:
ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais:
Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
j) é a região limitada pelas retas e , e pelo gráfico de . Rotacione em torno do eixo .
Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de .