Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
O conteúdo aqui é de equações diferenciais, especificamente uma equação que pode ser resolvida com uma substituição adequada. Vamos precisar usar algumas técnicas de separação de variáveis e substituição para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividimos ambos os lados por para deixar isolada:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 4

Precisamos achar em termos de . Derivando em relação a :

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Dividimos ambos os lados por para simplificar:
Expandindo:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Agora, temos uma equação separável. Vamos reorganizar para separar de :

Passo 8

Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:

Passo 9

Resolvemos para :
Onde é uma constante simplificada.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 12

Substituímos na equação:
Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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