Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
O conteúdo aqui é de equações diferenciais, especificamente uma equação que pode ser resolvida com uma substituição adequada. Vamos precisar usar algumas técnicas de separação de variáveis e substituição para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividimos ambos os lados por
para deixar
isolada:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir
. Isso significa que
.
Passo 4
Precisamos achar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por
para simplificar:
Expandindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável. Vamos reorganizar para separar
de
:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 9
Resolvemos para
:
Onde
é uma constante simplificada.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 12
Substituímos
na equação:
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva as integrais:
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
g) . Rotacione
em torno da reta
.
g)