Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
j) é a região limitada pelas retas e , e pelo gráfico de . Rotacione em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pelas retas , , e pela reta . A missão aqui é calcular o volume do sólido que se forma quando giramos essa região em torno do eixo . Para isso, vamos usar um método da geometria chamado método dos discos ou cilindros, que envolve integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a região está definida. As retas e são os eixos e , respectivamente. A reta é uma linha horizontal, e é uma linha reta inclinada. Vamos esboçar essas retas para visualizar a região:
  1. : Eixo .
  2. : Eixo .
  3. : Linha horizontal passando por .
  4. : Linha que intercepta o eixo em e tem inclinação 3.
A interseção da reta com ocorre quando:
Então, a região vai de a e de a .

Passo 3

Agora, para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em pequenos discos cilíndricos, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes através da integração.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde é a função que descreve o raio do disco em cada ponto .

Passo 4

Precisamos expressar em função de a partir da equação da reta :
Aqui, representa o raio do disco para cada valor de .

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A região está limitada de a . Então, e .

Passo 6

Substituímos na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
g) . Rotacione em torno da reta .
Resolva as integrais:
Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
n) . Rotacione em torno do eixo .