Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
j)
é a região limitada pelas retas
e
, e pelo gráfico de
. Rotacione
em torno do eixo
.
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região
delimitada pelas retas
,
,
e pela reta
. A missão aqui é calcular o volume do sólido que se forma quando giramos essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um método da geometria chamado método dos discos ou cilindros, que envolve integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a região
está definida. As retas
e
são os eixos
e
, respectivamente. A reta
é uma linha horizontal, e
é uma linha reta inclinada. Vamos esboçar essas retas para visualizar a região:
-
: Eixo . -
: Eixo . -
: Linha horizontal passando por . -
: Linha que intercepta o eixo em e tem inclinação 3.
A interseção da reta
com
ocorre quando:
Então, a região
vai de
a
e de
a
.
Passo 3
Agora, para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em pequenos discos cilíndricos, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes através da integração.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde
é a função que descreve o raio do disco em cada ponto
.
Passo 4
Precisamos expressar
em função de
a partir da equação da reta
:
Aqui,
representa o raio do disco para cada valor de
.
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A região
está limitada de
a
. Então,
e
.
Passo 6
Substituímos
na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
g) . Rotacione
em torno da reta
.
g)
Resolva as integrais:
Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de
.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
n) . Rotacione
em torno do eixo
.
n)