Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma escada de 5 metros encostada na parede de uma casa. A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de 12 metros por minuto. A pergunta é: a que velocidade a parte de cima da escada está descendo quando a base está a 3 metros da casa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas e o teorema de Pitágoras para relacionar as posições da escada.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • x é a distância da base da escada à parede (no chão).
  • y é a altura que a parte de cima da escada está alcançando na parede.
  • O comprimento da escada é a hipotenusa, que é 5 metros.
Segundo o teorema de Pitágoras:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo t para relacionar as taxas de variação de x e y:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:

Passo 4

Queremos encontrar quando x = 3 metros e = 12 m/min. Primeiro, precisamos descobrir o valor de y quando x = 3:
metros

Passo 5

Agora, substituímos os valores na equação diferenciada:

Passo 6

Isolamos :
m/min

Resposta

A extremidade superior da escada está descendo a uma taxa de 9 metros por minuto quando a base está a 3 metros da casa.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
j) é a região limitada pelas retas e , e pelo gráfico de . Rotacione em torno do eixo .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
g) . Rotacione em torno da reta .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
n) . Rotacione em torno do eixo .
Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.