Em cada um dos itens abaixo esboce a região R e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno da reta indicada.
n) R = {(x, y) em R^2 ; y^2 <= x <= raiz(y)}. Rotacione R em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o volume de um sólido que resulta da rotação da região em torno do eixo . A região é definida por . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos duas funções que delimitam :
  1. : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. : Essa é a parte positiva da raiz quadrada, que também abre para a direita, mas cresce mais lentamente que a parábola.
Queremos saber onde essas duas curvas se encontram para determinar os limites de integração. Vamos igualar :
Então, ou . Portanto, nossa região está entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Como estamos rotacionando em torno do eixo , vamos integrar em relação a . A ideia é calcular a área de cada “anel” (diferença entre dois círculos) e somar todos esses anéis para encontrar o volume total.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação até a curva mais externa.
  • é a distância do eixo de rotação até a curva mais interna.
  • e são os limites de integração.

Passo 4

Identificando as funções:
Portanto, substituindo na fórmula do volume:
Simplificando as potências:
Então fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Avaliar de 0 a 1:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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