Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
n)
. Rotacione
em torno do eixo
.
n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o volume de um sólido que resulta da rotação da região
em torno do eixo
. A região
é definida por
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos duas funções que delimitam
:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: Essa é a parte positiva da raiz quadrada, que também abre para a direita, mas cresce mais lentamente que a parábola.
Queremos saber onde essas duas curvas se encontram para determinar os limites de integração. Vamos igualar
:
Então,
ou
. Portanto, nossa região
está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Como estamos rotacionando em torno do eixo
, vamos integrar em relação a
. A ideia é calcular a área de cada “anel” (diferença entre dois círculos) e somar todos esses anéis para encontrar o volume total.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação até a curva mais externa. -
é a distância do eixo de rotação até a curva mais interna. -
e são os limites de integração.
Passo 4
Identificando as funções:
Portanto, substituindo na fórmula do volume:
Simplificando as potências:
Então fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Avaliar de 0 a 1:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de
.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
j) é a região limitada pelas retas
e
, e pelo gráfico de
. Rotacione
em torno do eixo
.
j)
Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOa)
.