Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOa)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se existirem, as soluções constantes e não constantes da equação diferencial ordinária (EDO)
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais que relacionam a função
com sua derivada em relação a
. Vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs e entender o que são soluções constantes e não constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as soluções constantes. Uma solução constante é aquela em que
não muda com
, ou seja, a derivada
é igual a zero.
Então, assumimos que
, onde
é uma constante. Vamos substituir na EDO:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, a única possibilidade é que
. Portanto, a única solução constante é
.
Passo 3
Agora, vamos buscar as soluções não constantes, ou seja, aquelas em que
varia com
. A equação dada é uma EDO de separação de variáveis, pois podemos separar
e
em lados diferentes da equação.
Reescrevendo a equação:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos reescrever
como uma nova constante, digamos
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
As soluções da EDO
são:
- Solução constante:
; - Soluções não constantes:
, onde é uma constante arbitrária.