Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOa) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se existirem, as soluções constantes e não constantes da equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui estamos lidando com equações diferenciais que relacionam a função com sua derivada em relação a . Vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs e entender o que são soluções constantes e não constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as soluções constantes. Uma solução constante é aquela em que não muda com , ou seja, a derivada é igual a zero.
Então, assumimos que , onde é uma constante. Vamos substituir na EDO:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , a única possibilidade é que . Portanto, a única solução constante é .

Passo 3

Agora, vamos buscar as soluções não constantes, ou seja, aquelas em que varia com . A equação dada é uma EDO de separação de variáveis, pois podemos separar e em lados diferentes da equação.
Reescrevendo a equação:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Multiplicamos ambos os lados por :
Podemos reescrever como uma nova constante, digamos :
Finalmente, isolamos :

Resposta

As soluções da EDO são:
  • Solução constante: ;
  • Soluções não constantes: , onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
n) . Rotacione em torno do eixo .
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOd) .
Encontre as soluções das EDOc) .