Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.
cl a) rho=e^-theta com 0 <= theta <= pi & b) rho=cos (theta), com 0 <= theta <= pi2 c) rho^2=cos (theta), com rho >= 0 & d) rho=4 e) rho=2 theta com 0 <= theta <= 2 pi & f) rho=2-cos (theta) com 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas por diferentes curvas no sistema de coordenadas polares. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é super útil pra isso. Precisamos saber como integrar funções polares e entender um pouquinho sobre cada tipo de curva apresentada nos itens a) até f).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área A = 12 integralalpha^beta rho^2 , dtheta limitada por uma curva de até é dada por:
Essa fórmula basicamente soma infinitas fatias de área infinitesimal para obter a área total.

Passo 3

Vamos resolver cada item passo a passo usando essa fórmula.

a) A = 12 integral0^pi (e^-theta)^2 , dtheta = 12 integral0^pi e^-2theta , dtheta com integral e^-2theta , dtheta = -12 e^-2theta + C

Passo 3a:
Aqui, nossa função é A = 12 [ -12 e^-2pi + 12 e^0 ] = 12 ( 12 - 12 e^-2pi ) = 14 (1 - e^-2pi) e o intervalo de A = 12 integral0^pi2 cos^2(theta) , dtheta vai de 0 a A = 12 integral0^pi2 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 + cos(2theta)) , dtheta . Vamos aplicar a fórmula da área:
integral (1 + cos(2theta)) , dtheta = theta + sin(2theta)2 + C
Passo 3a Continuação:
Integrando A = 14 [ pi2 + sin(pi)2 - (0 + sin(0)2) ] = 14 cdot pi2 = pi8 :
A = 12 integral-pi2^pi2 cos(theta) , dtheta
Passo 3a Final:
Calculando de 0 a integral cos(theta) , dtheta = sin(theta) + C :
A = 12 [ sin(pi2) - sin(-pi2) ] = 12 (1 - (-1)) = 12 cdot 2 = 1

b) A = 12 integral0^2pi 4^2 , dtheta = 12 integral0^2pi 16 , dtheta = 8 integral0^2pi dtheta = 8 cdot 2pi = 16pi com A = 12 integral0^2pi (2theta)^2 , dtheta = 12 integral0^2pi 4theta^2 , dtheta = 2 integral0^2pi theta^2 , dtheta

Passo 3b:
A função aqui é integral theta^2 , dtheta = theta^33 + C e A = 2 [ (2pi)^33 - 0 ] = 2 cdot 8pi^33 = 16pi^33 vai de 0 a A = 12 integral0^2pi (2 - cos(theta))^2 , dtheta . Aplicando a fórmula:
(2 - cos(theta))^2 = 4 - 4cos(theta) + cos^2(theta)
Passo 3b Continuação:
Utilizamos a identidade trigonométrica A = 12 integral0^2pi (4 - 4cos(theta) + cos^2(theta)) dtheta :
A = 12 [ integral0^2pi 4 , dtheta - 4 integral0^2pi cos(theta) , dtheta + integral0^2pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta ]
Integrando:
integral0^2pi 4 , dtheta = 8pi
Passo 3b Final:
Calculando de 0 a integral0^2pi cos(theta) , dtheta = 0 :
integral0^2pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos(2theta) , dtheta ] = 12 ( 2pi + 0 ) = pi

c) A = 12 ( 8pi - 0 + pi ) = 12 cdot 9pi = 9pi2 com

Passo 3c:
Aqui, temos e precisamos determinar os limites de . Para ser real e não negativa, , ou seja, .
Aplicando a fórmula:
Passo 3c Continuação:
Integrando :
Passo 3c Final:
Calculando de a :

d)

Passo 3d:
Esta é uma curva bem simples: um círculo com raio 4. Para um círculo completo, varia de 0 a . Vamos aplicar a fórmula:

e) com

Passo 3e:
A função aqui é . Vamos usar a fórmula da área:
Passo 3e Continuação:
Integrando :
Passo 3e Final:
Calculando de 0 a :

f) com

Passo 3f:
A função é . Vamos aplicar a fórmula:
Passo 3f Continuação:
Expandindo o quadrado:
Então,
Vamos integrar termo a termo. Lembrando que :
Integrando cada parte:
Passo 3f Final:
Somando tudo:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)

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