Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas por diferentes curvas no sistema de coordenadas polares. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é super útil pra isso. Precisamos saber como integrar funções polares e entender um pouquinho sobre cada tipo de curva apresentada nos itens a) até f).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área
limitada por uma curva
de
até
é dada por:
Essa fórmula basicamente soma infinitas fatias de área infinitesimal para obter a área total.
Passo 3
Vamos resolver cada item passo a passo usando essa fórmula.
a)
com
Passo 3a:
Aqui, nossa função é
e o intervalo de
vai de 0 a
. Vamos aplicar a fórmula da área:
Passo 3a Continuação:
Integrando
:
Passo 3a Final:
Calculando de 0 a
:
b)
com
Passo 3b:
A função aqui é
e
vai de 0 a
. Aplicando a fórmula:
Passo 3b Continuação:
Utilizamos a identidade trigonométrica
:
Integrando:
Passo 3b Final:
Calculando de 0 a
:
c)
com
Passo 3c:
Aqui, temos
e precisamos determinar os limites de
. Para
ser real e não negativa,
, ou seja,
.
Aplicando a fórmula:
Passo 3c Continuação:
Integrando
:
Passo 3c Final:
Calculando de
a
:
d)
Passo 3d:
Esta é uma curva bem simples: um círculo com raio 4. Para um círculo completo,
varia de 0 a
. Vamos aplicar a fórmula:
e)
com
Passo 3e:
A função aqui é
. Vamos usar a fórmula da área:
Passo 3e Continuação:
Integrando
:
Passo 3e Final:
Calculando de 0 a
:
f)
com
Passo 3f:
A função é
. Vamos aplicar a fórmula:
Passo 3f Continuação:
Expandindo o quadrado:
Então,
Vamos integrar termo a termo. Lembrando que
:
Integrando cada parte:
Passo 3f Final:
Somando tudo:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
n) . Rotacione
em torno do eixo
.
n)
Uma escada de 5 m de comprimento está escorada na parede de una casa. A que taxa a extremidade superior da escada está escorregando para baixo quando a extremidade inferior da escada está a 3 m da casa e afastando-se desta a uma taxa de
.
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOa)
.
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOd)
.