Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas por diferentes curvas no sistema de coordenadas polares. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é super útil pra isso. Precisamos saber como integrar funções polares e entender um pouquinho sobre cada tipo de curva apresentada nos itens a) até f).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área limitada por uma curva de até é dada por:
Essa fórmula basicamente soma infinitas fatias de área infinitesimal para obter a área total.

Passo 3

Vamos resolver cada item passo a passo usando essa fórmula.

a) com

Passo 3a:
Aqui, nossa função é e o intervalo de vai de 0 a . Vamos aplicar a fórmula da área:
Passo 3a Continuação:
Integrando :
Passo 3a Final:
Calculando de 0 a :

b) com

Passo 3b:
A função aqui é e vai de 0 a . Aplicando a fórmula:
Passo 3b Continuação:
Utilizamos a identidade trigonométrica :
Integrando:
Passo 3b Final:
Calculando de 0 a :

c) com

Passo 3c:
Aqui, temos e precisamos determinar os limites de . Para ser real e não negativa, , ou seja, .
Aplicando a fórmula:
Passo 3c Continuação:
Integrando :
Passo 3c Final:
Calculando de a :

d)

Passo 3d:
Esta é uma curva bem simples: um círculo com raio 4. Para um círculo completo, varia de 0 a . Vamos aplicar a fórmula:

e) com

Passo 3e:
A função aqui é . Vamos usar a fórmula da área:
Passo 3e Continuação:
Integrando :
Passo 3e Final:
Calculando de 0 a :

f) com

Passo 3f:
A função é . Vamos aplicar a fórmula:
Passo 3f Continuação:
Expandindo o quadrado:
Então,
Vamos integrar termo a termo. Lembrando que :
Integrando cada parte:
Passo 3f Final:
Somando tudo:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)

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