Em cada um dos itens abaixo esboce a região R e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno da reta indicada.
k) R = {(x, y) em R^2 ; 0 <= x <= 1} e 0 <= y <= arctg(x). Rotacione R em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo . A região está definida pelas condições:
Vamos usar o método dos discos ou anéis para calcular esse volume. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e como aplicar essas fórmulas para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está delimitada entre e no eixo , e entre e no eixo . A função é a função arco-tangente, que nos dá o ângulo cujo tangente é .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido formado ao girar em torno do eixo . Como estamos girando em torno do eixo , é conveniente usar a fórmula do volume por integração em relação a .

Passo 4

Para usar o método dos discos, precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então podemos resolver para :

Passo 5

O raio do disco em cada ponto será . A área do disco é:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Quando , . Quando , . Então, iremos integrar de a .

Passo 7

Vamos montar a integral para o volume :

Passo 8

Simplificando a integral:
Sabemos que , então:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Então:

Passo 10

Calculando os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
ú

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