Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
k) e . Rotacione em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo . A região está definida pelas condições:
Vamos usar o método dos discos ou anéis para calcular esse volume. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e como aplicar essas fórmulas para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela está delimitada entre e no eixo , e entre e no eixo . A função é a função arco-tangente, que nos dá o ângulo cujo tangente é .
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido formado ao girar em torno do eixo . Como estamos girando em torno do eixo , é conveniente usar a fórmula do volume por integração em relação a .
Passo 4
Para usar o método dos discos, precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então podemos resolver para :
Passo 5
O raio do disco em cada ponto será . A área do disco é:
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Quando , . Quando , . Então, iremos integrar de a .