Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos apresenta. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajudará a encontrar a solução geral da equação. Além disso, usaremos a condição inicial para determinar a constante da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
O fator integrante nos permite simplificar a equação diferencial, facilitando a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Reescrevemos o lado esquerdo da equação como a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral . Usando a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :

Passo 7

Substituindo a integral calculada de volta na equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial :
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
k) e . Rotacione em torno do eixo .
Calcule o ângulo entre os vetores .
© e
Calcule o ângulo entre os vetores .
(b) e
Calcule o ângulo entre os vetores .
(a) e