Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema nos apresenta. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajudará a encontrar a solução geral da equação. Além disso, usaremos a condição inicial
para determinar a constante da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
O fator integrante nos permite simplificar a equação diferencial, facilitando a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Reescrevemos o lado esquerdo da equação como a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. Usando a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula
:
Passo 7
Substituindo a integral calculada de volta na equação:
Resolvendo para
:
Passo 8
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
k) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
k)
Calcule o ângulo entre os vetores
.
© e
©
Calcule o ângulo entre os vetores
.
(b) e
(b)
Calcule o ângulo entre os vetores
.
(a) e
(a)