Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
p) é a região limitada por e . Rotacione em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas , , e , e depois calcular o volume do sólido formado ao rotacionar essa região em torno da reta .
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/lavras, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender os limites da região e como ela se relaciona com a reta de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa é uma equação de uma elipse, mas como os coeficientes de e são iguais e a soma delas é 1, ela representa um círculo com raio 1 centrado na origem. Porém, temos restrições adicionais: , e .
Vamos esboçar a região . O círculo se estende entre e , mas como temos e , a região será limitada por essas retas verticais e pela reta horizontal .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a rotação dessa região em torno da reta . Para calcular o volume, usaremos o método dos discos, onde cada “fatia” do sólido é um anel (anelar), e o volume total é a soma desses anéis.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a distância da reta de rotação até a curva externa.
  • é a distância da reta de rotação até a curva interna.

Passo 4

Vamos identificar e . Nosso eixo de rotação é .
A curva superior da região é e a curva inferior é (a parte superior do círculo).
Então:
âé
âé

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre e devido ao círculo . Apesar de termos e , o círculo está limitado a e .
Portanto, nossos limites serão de a .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral separadamente:
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

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