Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
p)
é a região limitada por
e
. Rotacione
em torno da reta
.
p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região
limitada pelas curvas
,
,
e
, e depois calcular o volume do sólido formado ao rotacionar essa região em torno da reta
.
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/lavras, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender os limites da região
e como ela se relaciona com a reta de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é uma equação de uma elipse, mas como os coeficientes de
e
são iguais e a soma delas é 1, ela representa um círculo com raio 1 centrado na origem. Porém, temos restrições adicionais:
,
e
.
Vamos esboçar a região
. O círculo
se estende entre
e
, mas como temos
e
, a região
será limitada por essas retas verticais e pela reta horizontal
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a rotação dessa região em torno da reta
. Para calcular o volume, usaremos o método dos discos, onde cada “fatia” do sólido é um anel (anelar), e o volume total é a soma desses anéis.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é a distância da reta de rotação até a curva externa. -
é a distância da reta de rotação até a curva interna.
Passo 4
Vamos identificar
e
. Nosso eixo de rotação é
.
A curva superior da região
é
e a curva inferior é
(a parte superior do círculo).
Então:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre
e
devido ao círculo
. Apesar de termos
e
, o círculo está limitado a
e
.
Portanto, nossos limites serão de
a
.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral separadamente:
Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido de revolução é:
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é contínua em
? Justifique sua resposta.
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e
(a)
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOc)
.