2,0 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f definida por f(x, y, z) = e^(x z) sen(y / z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes.
A função é um produto de e . Quando derivamos em relação a , apenas depende de , então a derivada fica:
Aqui, usamos a derivada de em relação a , que é , já que a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
A função novamente é o produto de e . Quando derivamos em relação a , apenas depende de . A derivada da seno é o cosseno, e aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos em relação a , resultando em , já que a derivada de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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