Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função definida por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes.
A função é um produto de e . Quando derivamos em relação a , apenas depende de , então a derivada fica:
Aqui, usamos a derivada de em relação a , que é , já que a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
A função novamente é o produto de e . Quando derivamos em relação a , apenas depende de . A derivada da seno é o cosseno, e aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos em relação a , resultando em , já que a derivada de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

Exercícios relacionados

Podemos afirmar que a função definida por
é contínua em ? Justifique sua resposta.
Determine e esboce o domínio da função definida por
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
p) é a região limitada por e . Rotacione em torno da reta .
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e