Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
e
como constantes.
A função
é um produto de
e . Quando derivamos em relação a
, apenas
depende de
, então a derivada fica:
Aqui, usamos a derivada de
em relação a
, que é
, já que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
A função
novamente é o produto de
e . Quando derivamos em relação a
, apenas depende de
. A derivada da seno é o cosseno, e aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos em relação a
, resultando em
, já que a derivada de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e
Exercícios relacionados
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
p) é a região limitada por
e
. Rotacione
em torno da reta
.
p)
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e
(a)