Podemos afirmar que a função definida por
é contínua em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo se é igual a ou não. A pergunta é: essa função é contínua no ponto ? Para responder isso, precisamos entender o que é continuidade e como verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao próprio valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se:
Sabemos que , então precisamos calcular o limite quando se aproxima de e ver se ele também é igual a 0.

Passo 3

Vamos analisar a expressão da função quando :
Para calcular o limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e . Isso facilita ver como a função se comporta quando (a distância até o ponto ) tende a 0.

Passo 4

Substituindo e na função, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos fatorar do denominador:

Passo 6

Agora, observamos que quando tende a 0, o termo tende a . Então, podemos simplificar ainda mais:

Passo 7

Para avaliar o limite quando , observamos que está no numerador e não há no denominador após simplificarmos. Então, o limite será zero, já que está multiplicando os outros termos que são finitos.

Resposta

A função é contínua em , porque o limite de quando é igual a 0, que é o valor da função nesse ponto.

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Determine e esboce o domínio da função definida por
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função definida por .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
p) é a região limitada por e . Rotacione em torno da reta .