Podemos afirmar que a função
definida por
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida de forma diferente dependendo se
é igual a
ou não. A pergunta é: essa função é contínua no ponto
? Para responder isso, precisamos entender o que é continuidade e como verificar se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto for igual ao próprio valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se:
Sabemos que
, então precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
e ver se ele também é igual a 0.
Passo 3
Vamos analisar a expressão da função
quando
:
Para calcular o limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde
e
. Isso facilita ver como a função se comporta quando
(a distância até o ponto
) tende a 0.
Passo 4
Substituindo
e
na função, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos fatorar
do denominador:
Passo 6
Agora, observamos que quando
tende a 0, o termo
tende a
. Então, podemos simplificar ainda mais:
Passo 7
Para avaliar o limite quando
, observamos que
está no numerador e não há
no denominador após simplificarmos. Então, o limite será zero, já que
está multiplicando os outros termos que são finitos.
Resposta
A função
é contínua em
, porque o limite de
quando
é igual a 0, que é o valor da função nesse ponto.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
p) é a região limitada por
e
. Rotacione
em torno da reta
.
p)