(2,0) Podemos afirmar que a função g definida por
g(x, y)=c x^2 y e^yx^4+3 y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se(x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo se é igual a ou não. A pergunta é: essa função é contínua no ponto ? Para responder isso, precisamos entender o que é continuidade e como verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é contínua em um ponto se o limite dela quando lim(x, y) to (0,0) g(x, y) = g(0,0) se aproxima desse ponto for igual ao próprio valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se:
Sabemos que , então precisamos calcular o limite quando se aproxima de e ver se ele também é igual a 0.

Passo 3

Vamos analisar a expressão da função g(x, y) = x^2 y e^yx^4 + 3 y^2 quando :
Para calcular o limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e . Isso facilita ver como a função se comporta quando (a distância até o ponto ) tende a 0.

Passo 4

Substituindo g(r, theta) = (r cos(theta))^2 cdot r sin(theta) cdot e^r sin(theta)(r cos(theta))^4 + 3 (r sin(theta))^2 e g(r, theta) = r^3 cos^2(theta) sin(theta) e^r sin(theta)r^4 cos^4(theta) + 3 r^2 sin^2(theta) na função, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos fatorar g(r, theta) = r^3 cos^2(theta) sin(theta) e^r sin(theta)r^2 ( r^2 cos^4(theta) + 3 sin^2(theta) ) = r cos^2(theta) sin(theta) e^r sin(theta)r^2 cos^4(theta) + 3 sin^2(theta) do denominador:

Passo 6

Agora, observamos que quando g(r, theta) approx r cos^2(theta) sin(theta)3 sin^2(theta) = r cos^2(theta)3 sin(theta) tende a 0, o termo tende a . Então, podemos simplificar ainda mais:

Passo 7

Para avaliar o limite quando , observamos que está no numerador e não há no denominador após simplificarmos. Então, o limite será zero, já que está multiplicando os outros termos que são finitos.

Resposta

A função é contínua em , porque o limite de quando é igual a 0, que é o valor da função nesse ponto.

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