Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOc) d x/d t = t(1 + x^2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma . Nosso objetivo é encontrar todas as soluções constantes e não constantes dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem e métodos para encontrar suas soluções.

Passo 2

Vamos começar procurando por soluções constantes. Uma solução constante é aquela em que x não varia com t, ou seja, , onde C é uma constante. Se substituirmos na equação, teremos:

Passo 3

Para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de t, o lado direito deve ser zero para todo t. Isso só é possível se .

Passo 4

Resolvendo , temos . No conjunto dos números reais, não existe número cujo quadrado seja negativo. Portanto, não existem soluções constantes reais para a equação.

Passo 5

Agora, vamos buscar soluções não constantes. A equação dada é uma EDO separável, pois podemos escrever como:
Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis x e t:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é , e a do lado direito é .

Passo 7

Igualando as integrais, temos:
Onde C é uma constante de integração.

Passo 8

Para obter x em função de t, aplicamos a tangente dos dois lados:

Resposta

As soluções não constantes da EDO são dadas por , onde C é uma constante real. Não existem soluções constantes reais para a equação diferencial.

Exercícios relacionados