Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOc)
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
. Nosso objetivo é encontrar todas as soluções constantes e não constantes dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem e métodos para encontrar suas soluções.
Passo 2
Vamos começar procurando por soluções constantes. Uma solução constante é aquela em que
não varia com
, ou seja,
, onde
é uma constante. Se substituirmos
na equação, teremos:
Passo 3
Para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, o lado direito
deve ser zero para todo
. Isso só é possível se
.
Passo 4
Resolvendo
, temos
. No conjunto dos números reais, não existe número cujo quadrado seja negativo. Portanto, não existem soluções constantes reais para a equação.
Passo 5
Agora, vamos buscar soluções não constantes. A equação dada é uma EDO separável, pois podemos escrever como:
Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é
, e a do lado direito é
.
Passo 7
Igualando as integrais, temos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Para obter
em função de
, aplicamos a tangente dos dois lados:
Resposta
As soluções não constantes da EDO são dadas por
, onde
é uma constante real. Não existem soluções constantes reais para a equação diferencial.
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Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e
(a)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
p) é a região limitada por
e
. Rotacione
em torno da reta
.
p)
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOh)
.
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(b) e
(b)