Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
l) e . Rotacione em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região definida por , e , e depois calcular o volume do sólido que forma quando giramos essa região ao redor do eixo . Vamos usar o método dos discos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma parábola aberta para a direita, começando em . Como estamos considerando , a região está acima dessa curva, entre e , e entre e .

Passo 3

Para usar o método dos discos, precisamos expressar em função de . A equação pode ser rearranjada para . Isso nos dá o limite interno do disco.

Passo 4

O volume de um disco é dado por . Neste caso, o raio externo está no eixo , que é sempre zero porque estamos girando em torno do eixo , então só precisamos considerar o raio dado por .

Passo 5

Os limites de integração para vão de 0 a 2, já que varia nesse intervalo. Então, nossa integral para o volume fica:

Passo 6

Vamos expandir :
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo por termo:
Então,

Passo 8

Substituindo :
E nos dá 0. Então:

Passo 9

Vamos calcular os termos:
Somando tudo:
Então,
ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente unidades cúbicas.

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