Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
l)
e
. Rotacione
em torno do eixo
.
l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região
definida por
,
e
, e depois calcular o volume do sólido que forma quando giramos essa região ao redor do eixo
. Vamos usar o método dos discos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é uma parábola aberta para a direita, começando em
. Como estamos considerando
, a região
está acima dessa curva, entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Para usar o método dos discos, precisamos expressar
em função de
. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso nos dá o limite interno do disco.
Passo 4
O volume de um disco é dado por
. Neste caso, o raio externo está no eixo
, que é sempre zero porque estamos girando em torno do eixo
, então só precisamos considerar o raio dado por
.
Passo 5
Os limites de integração para
vão de 0 a 2, já que
varia nesse intervalo. Então, nossa integral para o volume fica:
Passo 6
Vamos expandir
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo por termo:
Então,
Passo 8
Substituindo
:
E
nos dá 0. Então:
Passo 9
Vamos calcular os termos:
Somando tudo:
Então,
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente
unidades cúbicas.
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Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(b) e
(b)
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOh)
.
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© e
©
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOb)
.