Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOh) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se existirem, as soluções constantes e não constantes da Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO) dada por:
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente resolução de equações diferenciais separáveis. Precisamos determinar quais funções satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar por soluções constantes. Uma solução constante ocorre quando não varia com , ou seja, , onde é uma constante.
Substituindo na EDO:
Para essa igualdade valer para todos os valores de , o numerador deve ser zero. Como varia, a única possibilidade é que o denominador seja infinito, o que acontece quando .
Então:
Portanto, existem soluções constantes para quando .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as soluções não constantes. Para isso, vamos separar as variáveis e na equação diferencial e integrar ambos os lados.
A EDO é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, integremos ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para obter a expressão geral da solução, isolamos :
Essa é a solução geral não constante da EDO dada. Vale lembrar que o domínio dessa função depende dos valores de e de forma que o argumento do arco seno esteja entre -1 e 1, ou seja:

Resposta

As soluções constantes da EDO são , onde é um número inteiro. Já as soluções não constantes são dadas por:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOc) .
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(b) e
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
l) e . Rotacione em torno do eixo .