Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOh)
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se existirem, as soluções constantes e não constantes da Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO) dada por:
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente resolução de equações diferenciais separáveis. Precisamos determinar quais funções
satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar por soluções constantes. Uma solução constante ocorre quando
não varia com
, ou seja,
, onde
é uma constante.
Substituindo
na EDO:
Para essa igualdade valer para todos os valores de
, o numerador deve ser zero. Como
varia, a única possibilidade é que o denominador seja infinito, o que acontece quando
.
Então:
Portanto, existem soluções constantes para
quando
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as soluções não constantes. Para isso, vamos separar as variáveis
e
na equação diferencial e integrar ambos os lados.
A EDO é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, integremos ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para obter a expressão geral da solução, isolamos
:
Essa é a solução geral não constante da EDO dada. Vale lembrar que o domínio dessa função depende dos valores de
e
de forma que o argumento do arco seno esteja entre -1 e 1, ou seja:
Resposta
As soluções constantes da EDO são
, onde
é um número inteiro. Já as soluções não constantes são dadas por:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOc)
.
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e
(a)
Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(b) e
(b)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
l) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
l)