Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOb) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar, se existirem, as soluções constantes e não constantes da equação diferencial ordinária (EDO) dada por . Então, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como resolver soluções constantes e variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as soluções constantes. Isso significa que queremos encontrar valores de que não mudam com o tempo, ou seja, onde .
A equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Então, temos duas soluções constantes: e . Agora, vamos procurar as soluções não constantes, ou seja, aquelas onde varia com o tempo.
Passo 5
Para encontrar as soluções não constantes, vamos resolver a EDO:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar.
Passo 6
Primeiro, reescrevemos a equação separando as variáveis:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para facilitar a integração do lado esquerdo, usamos frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.
Passo 9
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 10
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.
Passo 11
Removemos o valor absoluto (considerando positivo) e resolvemos para :