Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOb) d x/d t = x^2 - x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar, se existirem, as soluções constantes e não constantes da equação diferencial ordinária (EDO) dada por . Então, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como resolver soluções constantes e variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as soluções constantes. Isso significa que queremos encontrar valores de x que não mudam com o tempo, ou seja, onde .
A equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Então, temos duas soluções constantes: x = 0 e x = 1. Agora, vamos procurar as soluções não constantes, ou seja, aquelas onde x varia com o tempo.

Passo 5

Para encontrar as soluções não constantes, vamos resolver a EDO:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis x e t para integrar.

Passo 6

Primeiro, reescrevemos a equação separando as variáveis:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados. Para facilitar a integração do lado esquerdo, usamos frações parciais:
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 11

Removemos o valor absoluto (considerando K positivo) e resolvemos para x:

Resposta

As soluções da equação diferencial são:
  • Soluções constantes: x = 0 e x = 1.
  • Soluções não constantes:
Onde C é uma constante arbitrária.

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