Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
m)
e
. Rotacione
em torno do eixo
.
m)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
definida por
e
. A tarefa é desenhar essa região e calcular o volume do sólido que resulta ao girar
em torno do eixo
.
Matéria envolvida: Cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas).
O que vamos precisar: Encontrar os pontos de interseção das curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula do método dos cilindros para calcular o volume.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso significa resolver a equação
.
Para resolver:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra entre
e
. Vamos testar um valor no meio, por exemplo,
:
Aqui,
para
, então a curva
está acima de
nesse intervalo.
Mas precisamos verificar isso corretamente. Na verdade, ao analisarmos mais atentamente:
Para
,
está acima de
, e para
,
está acima de
. Mas como a interseção ocorre em
e
, vamos considerar esses limites.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos determinar os limites de integração para calcular o volume. Como vamos rotacionar em torno do eixo
, o método dos cilindros (ou cascas) é mais adequado.
A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
onde:
-
é a distância do eixo de rotação, -
é a função superior, -
é a função inferior, -
são os limites de integração.
Passo 5
Identificamos que para
entre 0 e 4, a função
está acima de
, e para
entre 4 e 9,
está acima de
.
Portanto, precisamos dividir a integral em duas partes:
- De
a , e . - De
a , e .
Passo 6
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Parte 1:
a
Parte 2:
a
Passo 7
Vamos resolver a primeira integral
:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Convertendo para denominador comum (15):
Como no
todos os termos são zero, temos:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral
:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Convertendo para denominador comum (15):
Portanto:
Passo 9
Finalmente, somamos os dois volumes calculados:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas, ou aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOg)
.
Considere os vetores
e
ache:
(b)
(b)
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.