Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
m) e . Rotacione em torno do eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região definida por e . A tarefa é desenhar essa região e calcular o volume do sólido que resulta ao girar em torno do eixo .
Matéria envolvida: Cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas).
O que vamos precisar: Encontrar os pontos de interseção das curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula do método dos cilindros para calcular o volume.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso significa resolver a equação .
Para resolver:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra entre e . Vamos testar um valor no meio, por exemplo, :
Aqui, para , então a curva está acima de nesse intervalo.
Mas precisamos verificar isso corretamente. Na verdade, ao analisarmos mais atentamente:
Para , está acima de , e para , está acima de . Mas como a interseção ocorre em e , vamos considerar esses limites.

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos determinar os limites de integração para calcular o volume. Como vamos rotacionar em torno do eixo , o método dos cilindros (ou cascas) é mais adequado.
A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
onde:
  • é a distância do eixo de rotação,
  • é a função superior,
  • é a função inferior,
  • são os limites de integração.

Passo 5

Identificamos que para entre 0 e 4, a função está acima de , e para entre 4 e 9, está acima de .
Portanto, precisamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , e .
  2. De a , e .

Passo 6

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Parte 1: a
Parte 2: a

Passo 7

Vamos resolver a primeira integral :
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Convertendo para denominador comum (15):
Como no todos os termos são zero, temos:

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral :
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Calculando em :
Convertendo para denominador comum (15):
Portanto:

Passo 9

Finalmente, somamos os dois volumes calculados:
ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas, ou aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOg) .
Considere os vetores e ache:
(b)
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.