Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos achar duas partes: a solução complementar (geral da equação homogênea) e uma solução particular. A gente junta as duas pra ter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por :

Passo 3

Vamos resolver essa equação característica:
Podemos notar que isso é um quadrado perfeito:
Então, as raízes são:
Cada raiz tem multiplicidade 2.

Passo 4

Como as raízes são com multiplicidade 2, a solução complementar fica assim:
Aqui, são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos achar a solução particular para a equação original:
A gente vai procurar uma solução que atenda essa equação. Como o lado direito tem dois termos, vamos achar soluções particulares para cada um e somar.

Passo 6

Primeiro, para o termo constante , vamos supor que a solução particular seja também constante:
Derivadas de uma constante são zero, então substituindo na equação:
Então, .

Passo 7

Agora, para o termo , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Vamos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação diferencial.

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Temos:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Então, a solução particular é:

Passo 10

Agora, juntando as soluções particulares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
m) e . Rotacione em torno do eixo .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
f)