Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos achar duas partes: a solução complementar (geral da equação homogênea) e uma solução particular. A gente junta as duas pra ter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver essa equação característica:
Podemos notar que isso é um quadrado perfeito:
Então, as raízes são:
Cada raiz tem multiplicidade 2.
Passo 4
Como as raízes são
com multiplicidade 2, a solução complementar fica assim:
Aqui,
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos achar a solução particular para a equação original:
A gente vai procurar uma solução
que atenda essa equação. Como o lado direito tem dois termos, vamos achar soluções particulares para cada um e somar.
Passo 6
Primeiro, para o termo constante
, vamos supor que a solução particular seja também constante:
Derivadas de uma constante são zero, então substituindo na equação:
Então,
.
Passo 7
Agora, para o termo
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Vamos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação diferencial.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Temos:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular é:
Passo 10
Agora, juntando as soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias.
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Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
m) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
m)
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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
f)
f)