Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOg)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como isolar as variáveis e, quem sabe, identificar soluções constantes e não constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação tem soluções constantes. Uma solução constante é quando
não muda com o tempo, ou seja,
é uma constante, digamos
. Se substituirmos
na equação, teremos:
Passo 3
Para essa igualdade ser verdadeira para todo
, a única possibilidade é que
, porque os outros termos dependem de
. Então, temos que a única solução constante é
.
Passo 4
Agora, vamos procurar por soluções não constantes. A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
Onde
. Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante
, que é dado por:
Passo 5
Calculando o fator integrante:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Resposta
As soluções da equação
são:
- Solução constante:
- Soluções não constantes:
, onde é uma constante real.