Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOg) dx/dt = tx/(1+t^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como isolar as variáveis e, quem sabe, identificar soluções constantes e não constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação tem soluções constantes. Uma solução constante é quando não muda com o tempo, ou seja, é uma constante, digamos . Se substituirmos na equação, teremos:

Passo 3

Para essa igualdade ser verdadeira para todo , a única possibilidade é que , porque os outros termos dependem de . Então, temos que a única solução constante é .

Passo 4

Agora, vamos procurar por soluções não constantes. A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
Onde . Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante , que é dado por:

Passo 5

Calculando o fator integrante:
Fazendo uma substituição simples, deixe , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :

Resposta

As soluções da equação são:
  • Solução constante:
  • Soluções não constantes: , onde é uma constante real.

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