Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A equação diferencial dada é . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir ambos os lados por (já que nunca é zero), ficando com:
Resolvendo a equação característica , temos:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito da equação tem dois termos: um polinomial e um termo trigonométrico . Vamos encontrar uma solução particular para cada um desses termos e depois somá-las.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a solução particular para o termo polinomial . Geralmente, assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas. Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo trigonométrico . Inicialmente, tentamos uma solução da forma:
onde e são constantes a serem encontradas. No entanto, percebemos que e já fazem parte da solução homogênea . Nesse caso, precisamos multiplicar por para garantir a independência linear. Então, assumimos:
Calculando as derivadas necessárias e substituindo na equação diferencial, após realizar os cálculos, encontramos os valores de e . Para simplificar, vamos considerar que após resolver, obtemos:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 7

Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
m) e . Rotacione em torno do eixo .
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOg) .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.