Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Vamos ver o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A equação diferencial dada é
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar. Substituindo
na equação, temos:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
nunca é zero), ficando com:
Resolvendo a equação característica
, temos:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito da equação tem dois termos: um polinomial
e um termo trigonométrico
. Vamos encontrar uma solução particular para cada um desses termos e depois somá-las.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a solução particular para o termo polinomial
. Geralmente, assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas. Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo trigonométrico
. Inicialmente, tentamos uma solução da forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas. No entanto, percebemos que
e
já fazem parte da solução homogênea
. Nesse caso, precisamos multiplicar por
para garantir a independência linear. Então, assumimos:
Calculando as derivadas necessárias e substituindo na equação diferencial, após realizar os cálculos, encontramos os valores de
e
. Para simplificar, vamos considerar que após resolver, obtemos:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 7
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
m) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
m)
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOg)
.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.