Encontre a série de Taylor centrada em
da função
especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série geométrica, efetue derivação e substituição).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor centrada em
para a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e, mais especificamente, a série geométrica como base. Vamos precisar manipular derivadas e fazer algumas substituições, então prepara aí que vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
Nesse caso, nosso objetivo é adaptar essa série para a função
. Para isso, vamos identificar o valor de
e pensar em como modificar a série geométrica para que ela corresponda à nossa função.
Passo 3
Observamos que na nossa função, temos
. Isso se parece com a forma geral
, onde
é um número positivo inteiro. Sabemos que para
, temos a série geométrica que acabamos de lembrar. Para
, vamos precisar expandir a série geométrica múltiplas vezes usando derivadas.
Passo 4
Vamos começar aplicando derivadas na série geométrica para aumentar o expoente. A cada derivada que tomamos, o expoente aumenta em 1 e multiplicamos por um fator relacionado. Vamos fazer isso passo a passo até chegar ao expoente 5.
Primeiro, consideramos:
Passo 5
Tomando a primeira derivada de ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar o índice:
Passo 6
Repetimos o processo de derivação mais quatro vezes para aumentar o expoente até 5. Cada derivada adicional aumentará o expoente em 1 e trará um novo fator multiplicativo.
Após cinco derivações, teremos:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Simplificando os termos, sabemos que:
Então, a série fica:
Passo 8
Finalmente, determinamos o raio de convergência da série. Observamos que a série geométrica original converge para
, ou seja,
. Como manipulamos a série da mesma forma, o raio de convergência permanece o mesmo.
Resposta
A série de Taylor centrada em
para a função
é dada por:
E o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Dada a série de potências
, determine os valores de
para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Em cada um dos itens abaixo, estabeleça a série de Maclaurin de
.
Expresse a função
em série de potências de
.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo: