Encontre a série de Taylor centrada em a = 0 da função f(x) = 1/((1 - 3 x)^(5)) especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série geométrica, efetue derivação e substituição).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor centrada em para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e, mais especificamente, a série geométrica como base. Vamos precisar manipular derivadas e fazer algumas substituições, então prepara aí que vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
Nesse caso, nosso objetivo é adaptar essa série para a função . Para isso, vamos identificar o valor de e pensar em como modificar a série geométrica para que ela corresponda à nossa função.

Passo 3

Observamos que na nossa função, temos . Isso se parece com a forma geral , onde é um número positivo inteiro. Sabemos que para , temos a série geométrica que acabamos de lembrar. Para , vamos precisar expandir a série geométrica múltiplas vezes usando derivadas.

Passo 4

Vamos começar aplicando derivadas na série geométrica para aumentar o expoente. A cada derivada que tomamos, o expoente aumenta em 1 e multiplicamos por um fator relacionado. Vamos fazer isso passo a passo até chegar ao expoente 5.
Primeiro, consideramos:

Passo 5

Tomando a primeira derivada de ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar o índice:

Passo 6

Repetimos o processo de derivação mais quatro vezes para aumentar o expoente até 5. Cada derivada adicional aumentará o expoente em 1 e trará um novo fator multiplicativo.
Após cinco derivações, teremos:

Passo 7

Agora, isolamos :
Simplificando os termos, sabemos que:
Então, a série fica:

Passo 8

Finalmente, determinamos o raio de convergência da série. Observamos que a série geométrica original converge para , ou seja, . Como manipulamos a série da mesma forma, o raio de convergência permanece o mesmo.

Resposta

A série de Taylor centrada em para a função é dada por:
E o raio de convergência dessa série é .

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