Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação da tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação da reta tangente:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal
é o negativo do inverso de
:
Substituindo
:
Passo 7
Usando a fórmula da reta novamente com a inclinação da normal e o ponto
:
Passo 8
Vamos simplificar a equação da reta normal:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Seja
. A função
é diferenciável em 3 ? Justifique. É contínua em 3? Justifique.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Mostre que se existir
, então
é diferenciável em
e
, para todo
.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, tal que
para
e
para
.