Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = x^3 - 2x^2 + 4 no ponto 2,4.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto . Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a x, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x.
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto x = 2 substituindo na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação da reta tangente:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é m, a inclinação da normal é o negativo do inverso de m:
Substituindo :

Passo 7

Usando a fórmula da reta novamente com a inclinação da normal e o ponto :

Passo 8

Vamos simplificar a equação da reta normal:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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