Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x^2 e x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para isso, vamos usar a fórmula da definição de derivada, que envolve calcular um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Nesse caso, queremos encontrar , então vamos substituir por 2 na fórmula.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Sabemos que , então vamos calcular :

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão do limite:
Vamos simplificar o numerador. Para isso, vamos achar um denominador comum para as frações:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos reescrever o numerador de uma forma que facilite o cancelamento:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Agora, percebemos que podemos cancelar o termo do numerador e do denominador:

Passo 6

Com o termo cancelado, podemos agora calcular o limite diretamente substituindo por 2:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 12 x e x0 = 3
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, com f'(x) > 0, para todo x em R.
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = raiz3(x) e x0 = 2
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x e x0 = 1