Em cada um dos itens abaixo, mostre que os planos pi1 e pi2 são paralelos e calcule distância entre eles.
(i) pi1: 2 x-y+2 z+9=0, pi2: 4 x-2 y+4 z-21=0.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos dá duas equações de planos no espaço:
pi1: 2x - y + 2z + 9 = 0
pi2: 4x - 2y + 4z - 21 = 0
A gente precisa mostrar que esses dois planos são paralelos e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos e a fórmula para calcular a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, para verificar se os planos são paralelos, olhamos para os vetores normais de cada plano. O vetor normal é formado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Para pi1, o vetor normal é n1 = (2, -1, 2).
Para pi2, o vetor normal é n2 = (4, -2, 4).

Passo 3

Agora, vamos ver se esses vetores normais são proporcionais, ou seja, se um é múltiplo do outro. Observando:
n2 = 2 times n1, porque (4, -2, 4) = 2 times (2, -1, 2).
Isso significa que os vetores normais são paralelos, então os planos pi1 e pi2 também são paralelos.

Passo 4

Com os planos sendo paralelos, podemos calcular a distância entre eles usando a fórmula:
d = |D2 - D1|| n |
Aqui, D1 e D2 são os termos constantes das equações dos planos, e n é o vetor normal (usamos o vetor normal de um dos planos, já que são paralelos).

Passo 5

Vamos identificar D1 e D2:
Na equação pi1: 2x - y + 2z + 9 = 0, temos D1 = 9.
Na equação pi2: 4x - 2y + 4z - 21 = 0, temos D2 = -21.

Passo 6

Antes de aplicar a fórmula, é bom ter os planos com o mesmo vetor normal. Já vimos que n2 = 2 times n1, então vamos multiplicar a equação de pi1 por 2 para ficar com o mesmo vetor normal de pi2:
2 times (2x - y + 2z + 9) = 4x - 2y + 4z + 18 = 0
Agora, temos:
pi1': 4x - 2y + 4z + 18 = 0
pi2: 4x - 2y + 4z - 21 = 0

Passo 7

Aplicando a fórmula da distância:
d = |-21 - 18|raiz4^2 + (-2)^2 + 4^2 = 39raiz16 + 4 + 16 = 39raiz36 = 396 = 6,5
Mas, para deixar em forma racionalizada:
d = 13 raiz64

Resposta

Os planos pi1 e pi2 são paralelos e a distância entre eles é dfrac13,raiz64 unidades.

Exercícios relacionados