Em cada um dos itens abaixo, mostre que os planos
e
são paralelos e calcule distância entre eles.
(i)
.
(i)
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos dá duas equações de planos no espaço:
A gente precisa mostrar que esses dois planos são paralelos e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos e a fórmula para calcular a distância entre eles.
A gente precisa mostrar que esses dois planos são paralelos e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos e a fórmula para calcular a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, para verificar se os planos são paralelos, olhamos para os vetores normais de cada plano. O vetor normal é formado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Para , o vetor normal é
.
Para , o vetor normal é
.
Para
Para
Passo 3
Agora, vamos ver se esses vetores normais são proporcionais, ou seja, se um é múltiplo do outro. Observando:
, porque
.
Isso significa que os vetores normais são paralelos, então os planos e
também são paralelos.
Isso significa que os vetores normais são paralelos, então os planos
Passo 4
Com os planos sendo paralelos, podemos calcular a distância entre eles usando a fórmula:
Aqui,
e
são os termos constantes das equações dos planos, e
é o vetor normal (usamos o vetor normal de um dos planos, já que são paralelos).
Passo 5
Vamos identificar
e
:
Na equação , temos
.
Na equação , temos
.
Na equação
Na equação
Passo 6
Antes de aplicar a fórmula, é bom ter os planos com o mesmo vetor normal. Já vimos que
, então vamos multiplicar a equação de
por 2 para ficar com o mesmo vetor normal de
:
Agora, temos:
Agora, temos:
Passo 7
Aplicando a fórmula da distância:
Mas, para deixar em forma racionalizada:
Resposta
Os planos
e
são paralelos e a distância entre eles é
unidades.