Considere o sistema linear não-homogêneo
l x-2 y+z-t=1 2 x-3 y+z+2 t=4 3 x-9 y+6 z-15 t=-3
Faça uma análise do seu conjunto solução.

Passo 1

Então, temos um sistema linear com três equações e quatro incógnitas:
l x - 2y + z - t = 1 2x - 3y + z + 2t = 4 3x - 9y + 6z - 15t = -3
Vamos trabalhar com matrizes e usar o método de eliminação de Gauss para simplificar esse sistema. Precisamos encontrar valores para , , e que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
1 & -2 & 1 & -1 & | & 1 2 & -3 & 1 & 2 & | & 4 3 & -9 & 6 & -15 & | & -3

Passo 3

Vamos começar eliminando o R2' = R2 - 2 times R1 das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira equação.
Para a segunda linha (R2):
0 & 1 & -1 & 4 & | & 2
Calculando cada elemento:
  • R3' = R3 - 3 times R1
  • 0 & -3 & 3 & -12 & | & -6
  • 1 & -2 & 1 & -1 & | & 1 0 & 1 & -1 & 4 & | & 2 0 & -3 & 3 & -12 & | & -6
Então, a nova segunda linha fica:
Para a terceira linha (R3):
Calculando cada elemento:
Então, a nova terceira linha fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o R3'' = R3' + 3 times R2' da terceira equação usando a segunda equação.
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Calculando cada elemento:
  • 1 & -2 & 1 & -1 & | & 1 0 & 1 & -1 & 4 & | & 2 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Então, a nova terceira linha fica:
A matriz agora é:

Passo 5

Observamos que a terceira equação se reduziu a y - z + 4t = 2 Rightarrow y = 2 + z - 4t , o que não adiciona nova informação. Portanto, temos um sistema de dois equações com quatro incógnitas. Isso indica que o sistema possui infinitas soluções, dependendo de dois parâmetros livres.
Vamos expressar as soluções em termos de x - 2y + z - t = 1 e x - 2(2 + z - 4t) + z - t = 1 :
  1. Da segunda equação:
    x - 4 - 2z + 8t + z - t = 1
  2. Da primeira equação:
    x - 4 - z + 7t = 1 Rightarrow x = 5 + z - 7t
    Substituindo :

Resposta

O conjunto solução do sistema é formado por infinitas soluções que podem ser expressas em função dos parâmetros x = 5 + z - 7t y = 2 + z - 4t z = z t = t e x y z t = 5 2 0 0 + z 1 1 1 0 + t -7 -4 0 1 . Assim, temos:
Ou, de forma vetorial:

$$

  • z
  • t
$$
Isso significa que existem infinitas soluções, onde e podem ser quaisquer números reais.

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