Considere o sistema linear não-homogêneo
Faça uma análise do seu conjunto solução.

Passo 1

Então, temos um sistema linear com três equações e quatro incógnitas:
Vamos trabalhar com matrizes e usar o método de eliminação de Gauss para simplificar esse sistema. Precisamos encontrar valores para , , e que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:

Passo 3

Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira equação.
Para a segunda linha (R2):
Calculando cada elemento:
Então, a nova segunda linha fica:
Para a terceira linha (R3):
Calculando cada elemento:
Então, a nova terceira linha fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira equação usando a segunda equação.
Calculando cada elemento:
Então, a nova terceira linha fica:
A matriz agora é:

Passo 5

Observamos que a terceira equação se reduziu a , o que não adiciona nova informação. Portanto, temos um sistema de dois equações com quatro incógnitas. Isso indica que o sistema possui infinitas soluções, dependendo de dois parâmetros livres.
Vamos expressar as soluções em termos de e :
  1. Da segunda equação:
  2. Da primeira equação:
    Substituindo :

Resposta

O conjunto solução do sistema é formado por infinitas soluções que podem ser expressas em função dos parâmetros e . Assim, temos:
Ou, de forma vetorial:

$$

  • z
  • t
$$
Isso significa que existem infinitas soluções, onde e podem ser quaisquer números reais.

Exercícios relacionados

Determine a equação da hipérbole com centro na origem, eixo principal vertical e que passa pelos pontos e (1, -3).
Obtenha um vetor normal ao plano nos seguintes casos:
(ii) tem equações paramétricas .
Em cada parte, encontre o posto e a nulidade da matriz; em seguida, verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensão para matrizes .
(a)
(b)