Determine a equação da hipérbole com centro na origem, eixo principal vertical e que passa pelos pontos (4,6) e (1, -3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem, com o eixo principal na vertical, e que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula padrão da hipérbole com eixo vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula padrão da hipérbole com o eixo principal vertical. Ela é dada por:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, é a distância do centro até os vértices verticais, e está relacionado à distância horizontal.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos que a hipérbole passa para montar um sistema de equações. Primeiro, substituímos o ponto 6^2a^2 - 4^2b^2 = 1 Rightarrow 36a^2 - 16b^2 = 1 na equação:

Passo 4

Em seguida, substituímos o ponto (-3)^2a^2 - 1^2b^2 = 1 Rightarrow 9a^2 - 1b^2 = 1 na mesma equação:

Passo 5

Vamos chamar 36u - 16v = 1 9u - v = 1 de e de . Assim, nosso sistema fica:

Passo 6

Da segunda equação, podemos isolar v = 9u - 1 :

Passo 7

Substituímos 36u - 16(9u - 1) = 1 Rightarrow 36u - 144u + 16 = 1 Rightarrow -108u = -15 Rightarrow u = 15108 = 536 na primeira equação:

Passo 8

Agora que temos 1a^2 = 536 Rightarrow a^2 = 365 , sabemos que:

Passo 9

Usando v = 9 times 536 - 1 = 4536 - 3636 = 936 = 14 :
1b^2 = 14 Rightarrow b^2 = 4
Então,

Resposta

A equação da hipérbole é:
5y^236 - x^24 = 1

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