Obtenha um vetor normal ao plano pi nos seguintes casos:
(ii) pi tem equações paramétricas lx=1+alpha y=2-alpha+beta z=alpha-2 beta (alpha, beta in R).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pi, que está definido pelas equações paramétricas:
x = 1 + alpha y = 2 - alpha + beta z = alpha - 2beta (alpha, beta in R)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar vetores que são “paralelos” ao plano e depois usar o produto vetorial para encontrar um vetor que é perpendicular a esses vetores, ou seja, um vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direção do plano a partir das equações paramétricas. Cada parâmetro ( alpha e beta) gera um vetor direção.
Para alpha:
v1 = 1 -1 1
Isso porque ao aumentar alpha em 1, x aumenta em 1, y diminui em 1 e z aumenta em 1.
Para beta:
v2 = 0 1 -2
Aqui, ao aumentar beta em 1, x não muda, y aumenta em 1 e z diminui em 2.

Passo 3

Agora que temos os dois vetores direção v1 e v2, vamos calcular o produto vetorial deles para encontrar o vetor normal n ao plano.
n = v1 times v2
Fazendo o cálculo:
n = 1 -1 1 times 0 1 -2 = (-1)(-2) - (1)(1) (1)(0) - (1)(-2) (1)(1) - (-1)(0) = 2 - 1 0 + 2 1 - 0 = 1 2 1

Resposta

Um vetor normal ao plano pi é n = 1 2 1 .

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