Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas (x, y) bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(b) 7 x^2-6 raiz3 x y+13 y^2-16=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve equações das cônicas. A gente vai precisar usar translações e rotações para simplificar a equação dada. A equação que temos para trabalhar é:
7x^2 - 6raiz3xy + 13y^2 - 16 = 0
Vamos precisar entender como transformar essa equação para uma forma mais simples e identificar qual cônica ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação tem termos misturados como o . Quando tem, significa que a cônica está rotacionada em relação aos eixos e . Nosso objetivo é eliminar esse termo para simplificar a equação.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = -6raiz37 - 13 = -6raiz3-6 = raiz3 é:
2theta = 60^circ Rightarrow theta = 30^circ
Onde:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a rotação de x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta para simplificar a equação. As novas coordenadas cos(30^circ) = raiz32, sin(30^circ) = 12 são relacionadas às antigas por:
Substituindo :
Substituindo na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo , obtendo uma equação sem o termo misturado.

Passo 5

Após a rotação, a equação simplificada fica na forma:
Ax'^2 + Cy'^2 = D
Onde A = A + C2 + A - C2cos(2theta) - B2sin(2theta) e C = A + C2 - A - C2cos(2theta) + B2sin(2theta) são coeficientes ajustados após a rotação, e é o termo constante. Vamos calcular esses valores:
Substituindo , , , e , encontramos os novos coeficientes.

Passo 6

Calculando os coeficientes:
A = 7 + 132 + 7 - 132cos(60^circ) - -6raiz32sin(60^circ)
A = 10 + (-3)cdot 0.5 + 3raiz3 cdot raiz32 = 10 - 1.5 + 4.5 = 13
C = 7 + 132 - 7 - 132cos(60^circ) + -6raiz32sin(60^circ)
C = 10 - (-3)cdot 0.5 - 3raiz3 cdot raiz32 = 10 + 1.5 - 4.5 = 7
A equação se torna:
13x'^2 + 7y'^2 = 16

Passo 7

Agora, vamos identificar qual cônica representa essa equação simplificada. Como ambos os coeficientes de e são positivos e diferentes, estamos lidando com uma elipse.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar a elipse no sistema de coordenadas original e no sistema rotacionado . No sistema , a elipse está alinhada com os eixos, facilitando o desenho. Já no sistema original, ela estará rotacionada em .

Resposta

(i) A equação reduzida após uma rotação de 13x'^2 + 7y'^2 = 16 é:
(ii) O ângulo de rotação utilizado foi .
(iii) A cônica representada é uma elipse.
(iv) O esboço apresenta a elipse alinhada com o sistema de coordenadas , que está rotacionado em relação ao sistema original .

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