Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve equações das cônicas. A gente vai precisar usar translações e rotações para simplificar a equação dada. A equação que temos para trabalhar é:
Vamos precisar entender como transformar essa equação para uma forma mais simples e identificar qual cônica ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação tem termos misturados como o . Quando tem, significa que a cônica está rotacionada em relação aos eixos e . Nosso objetivo é eliminar esse termo para simplificar a equação.

Passo 3

Para eliminar o termo , vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Onde:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a rotação de para simplificar a equação. As novas coordenadas são relacionadas às antigas por:
Substituindo :
Substituindo na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo , obtendo uma equação sem o termo misturado.

Passo 5

Após a rotação, a equação simplificada fica na forma:
Onde e são coeficientes ajustados após a rotação, e é o termo constante. Vamos calcular esses valores:
Substituindo , , , e , encontramos os novos coeficientes.

Passo 6

Calculando os coeficientes:
A equação se torna:

Passo 7

Agora, vamos identificar qual cônica representa essa equação simplificada. Como ambos os coeficientes de e são positivos e diferentes, estamos lidando com uma elipse.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar a elipse no sistema de coordenadas original e no sistema rotacionado . No sistema , a elipse está alinhada com os eixos, facilitando o desenho. Já no sistema original, ela estará rotacionada em .

Resposta

(i) A equação reduzida após uma rotação de é:
(ii) O ângulo de rotação utilizado foi .
(iii) A cônica representada é uma elipse.
(iv) O esboço apresenta a elipse alinhada com o sistema de coordenadas , que está rotacionado em relação ao sistema original .

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Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(a) .
Se denota a representação de um ponto no sistema de coordenadas , considere o plano expresso neste sistema como .
(a) Obtenha uma equação geral do plano , em relação ao sistema de coordenadas do Exercício 1.