Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas
bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(b)
.
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve equações das cônicas. A gente vai precisar usar translações e rotações para simplificar a equação dada. A equação que temos para trabalhar é:
Vamos precisar entender como transformar essa equação para uma forma mais simples e identificar qual cônica ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação tem termos misturados como o
. Quando tem, significa que a cônica está rotacionada em relação aos eixos
e
. Nosso objetivo é eliminar esse termo para simplificar a equação.
Passo 3
Para eliminar o termo
, vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Onde:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a rotação de
para simplificar a equação. As novas coordenadas
são relacionadas às antigas
por:
Substituindo
:
Substituindo na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo
, obtendo uma equação sem o termo misturado.
Passo 5
Após a rotação, a equação simplificada fica na forma:
Onde
e
são coeficientes ajustados após a rotação, e
é o termo constante. Vamos calcular esses valores:
Substituindo
,
,
, e
, encontramos os novos coeficientes.
Passo 6
Calculando os coeficientes:
A equação se torna:
Passo 7
Agora, vamos identificar qual cônica representa essa equação simplificada. Como ambos os coeficientes de
e
são positivos e diferentes, estamos lidando com uma elipse.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar a elipse no sistema de coordenadas original
e no sistema rotacionado
. No sistema
, a elipse está alinhada com os eixos, facilitando o desenho. Já no sistema original, ela estará rotacionada em
.
Resposta
(i) A equação reduzida após uma rotação de
é:
(ii) O ângulo de rotação utilizado foi
.
(iii) A cônica representada é uma elipse.
(iv) O esboço apresenta a elipse alinhada com o sistema de coordenadas
, que está rotacionado
em relação ao sistema original
.