Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente simplificar a equação da cônica dada, que é . Vamos usar conceitos de translação e rotação de coordenadas para deixar essa equação mais simples. Para isso, precisamos saber como mudar de sistema de coordenadas quando temos termos mistos de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo misto na equação. Esse termo indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos e . Para eliminar esse termo, vamos escolher um ângulo que faça com que a rotação dos eixos alinhe a cônica com os novos eixos e .
A fórmula para o ângulo de rotação é:
onde , e . Vamos calcular :
Então,
Passo 3
Agora que temos o ângulo de rotação , vamos fazer a substituição das coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original, o termo vai desaparecer, simplificando a equação da cônica.
Passo 4
Após a substituição e simplificação, a equação reduzida fica na forma padrão de uma parábola, elipse ou hipérbole, sem o termo . Neste caso, observando os coeficientes, identificamos que a cônica é uma hipérbole.
Passo 5
Para esboçar a hipérbole, desenhamos os novos eixos e , que estão rotacionados em relação aos originais. A hipérbole terá seus ramos abertos ao longo do eixo ou , dependendo dos coeficientes da equação reduzida.
Resposta
A equação da cônica foi reduzida a uma forma mais simples através de uma rotação de . A cônica é uma hipérbole. O esboço da hipérbole mostra seus ramos abertos ao longo dos novos eixos e , que estão rotacionados em em relação aos eixos originais.