Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas (x, y) bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(a) 32 x^2+52 x y-7 y^2+180=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente simplificar a equação da cônica dada, que é . Vamos usar conceitos de translação e rotação de coordenadas para deixar essa equação mais simples. Para isso, precisamos saber como mudar de sistema de coordenadas quando temos termos mistos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo misto tan(2theta) = BA - C na equação. Esse termo indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos tan(2theta) = 5232 - (-7) = 5239 approx 1,333 e 2theta approx tan^-1(1,333) approx 53,13^circ . Para eliminar esse termo, vamos escolher um ângulo theta approx 26,57^circ que faça com que a rotação dos eixos alinhe a cônica com os novos eixos e .
A fórmula para o ângulo de rotação é:
onde , e . Vamos calcular :
Então,

Passo 3

Agora que temos o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , vamos fazer a substituição das coordenadas:
y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo essas expressões na equação original, o termo vai desaparecer, simplificando a equação da cônica.

Passo 4

Após a substituição e simplificação, a equação reduzida fica na forma padrão de uma parábola, elipse ou hipérbole, sem o termo . Neste caso, observando os coeficientes, identificamos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 5

Para esboçar a hipérbole, desenhamos os novos eixos e , que estão rotacionados em relação aos originais. A hipérbole terá seus ramos abertos ao longo do eixo ou , dependendo dos coeficientes da equação reduzida.

Resposta

A equação da cônica foi reduzida a uma forma mais simples através de uma rotação de . A cônica é uma hipérbole. O esboço da hipérbole mostra seus ramos abertos ao longo dos novos eixos e , que estão rotacionados em em relação aos eixos originais.

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