Verdadeiro ou falso? Sempre justifique. Para {matrizes 3 por 3 com entradas reais :
( ) As matrizes que possuem em seu espaço nulo formam um subespaço.
Passo 1
Então, vamos analisar o que a questão está pedindo. O problema apresenta o conjunto , que são todas as matrizes 3 por 3 com entradas reais. A pergunta é: "Verdadeiro ou falso? Sempre justifique. As matrizes que possuem em seu espaço nulo formam um subespaço."
Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e espaço nulo de matrizes. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como o espaço nulo de uma matriz é definido para responder a essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço nulo de uma matriz. Para uma matriz , o espaço nulo, denotado por , é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação , onde é o vetor nulo.
No nosso caso, estamos interessados nas matrizes que têm o vetor no seu espaço nulo. Ou seja, queremos todas as matrizes que, quando multiplicadas por esse vetor, resultam no vetor nulo:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa ser um subespaço. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
O vetor nulo de está no subespaço.
Se e estão no subespaço, então também está no subespaço.
Se está no subespaço e é um escalar, então também está no subespaço.
Aplicando isso ao nosso caso, queremos verificar se o conjunto de matrizes que têm no espaço nulo satisfaz essas três condições.
Passo 4
1. O vetor nulo está no subespaço:
A matriz nula (onde todos os elementos são zero) certamente satisfaz . Portanto, a matriz nula está no conjunto.
2. Fechamento sob adição:
Sejam e duas matrizes que têm no espaço nulo. Então:
Portanto, também está no conjunto.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz que tem no espaço nulo e um escalar. Então:
Assim, também está no conjunto.
Passo 5
Como todas as três condições para ser um subespaço são satisfeitas, podemos concluir que o conjunto de matrizes 3 por 3 com entradas reais que têm no seu espaço nulo realmente forma um subespaço de .
Resposta
Verdadeiro. As matrizes que têm o vetor em seu espaço nulo formam um subespaço de .