Se denota a representação de um ponto no sistema de coordenadas , considere o plano expresso neste sistema como .
(a) Obtenha uma equação geral do plano , em relação ao sistema de coordenadas do Exercício 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica envolvendo planos e sistemas de coordenadas. O enunciado nos apresenta um plano definido no sistema de coordenadas pela equação . O objetivo é encontrar uma equação geral para esse mesmo plano , mas agora no sistema de coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar entender como os dois sistemas de coordenadas estão relacionados, ou seja, qual é a transformação que liga a .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como as coordenadas no sistema ( ) se relacionam com as coordenadas no sistema ( ). Geralmente, essa relação pode ser descrita por uma matriz de transformação, que envolve rotações, translações ou mudanças de escala. Suponhamos que a transformação seja linear e representada por uma matriz :

[

A

]
Onde é uma matriz que transforma as coordenadas de para .

Passo 3

Agora, vamos substituir as coordenadas da equação do plano em pelas expressões em termos de usando a matriz de transformação . A equação original do plano é:
Substituindo pelas expressões transformadas:
Onde .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão acima agrupando os termos de , e :
Isso nos dá uma nova equação na forma geral do plano no sistema :
Onde:

Resposta

A equação geral do plano no sistema de coordenadas é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(a) .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(b) .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(e) .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
© .