Se denota a representação de um ponto no sistema de coordenadas , considere o plano expresso neste sistema como .
(a) Obtenha uma equação geral do plano , em relação ao sistema de coordenadas do Exercício 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica envolvendo planos e sistemas de coordenadas. O enunciado nos apresenta um plano definido no sistema de coordenadas pela equação . O objetivo é encontrar uma equação geral para esse mesmo plano , mas agora no sistema de coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar entender como os dois sistemas de coordenadas estão relacionados, ou seja, qual é a transformação que liga a .
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como as coordenadas no sistema () se relacionam com as coordenadas no sistema (). Geralmente, essa relação pode ser descrita por uma matriz de transformação, que envolve rotações, translações ou mudanças de escala. Suponhamos que a transformação seja linear e representada por uma matriz :
[
A
]
Onde é uma matriz que transforma as coordenadas de para .
Passo 3
Agora, vamos substituir as coordenadas da equação do plano em pelas expressões em termos de usando a matriz de transformação . A equação original do plano é:
Substituindo pelas expressões transformadas:
Onde .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão acima agrupando os termos de , e :
Isso nos dá uma nova equação na forma geral do plano no sistema :
Onde:
Resposta
A equação geral do plano no sistema de coordenadas é: