Se (x, y, z)Sigma1 denota a representação de um ponto no sistema de coordenadas Sigma1, considere o plano expresso neste sistema como pi:[2 x-y+z=0]Sigma1.
(a) Obtenha uma equação geral do plano pi, em relação ao sistema de coordenadas Sigma2 do Exercício 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica envolvendo planos e sistemas de coordenadas. O enunciado nos apresenta um plano definido no sistema de coordenadas pela equação . O objetivo é encontrar uma equação geral para esse mesmo plano , mas agora no sistema de coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar entender como os dois sistemas de coordenadas estão relacionados, ou seja, qual é a transformação que liga a .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como as coordenadas no sistema x y z = A x' y' z' ( ) se relacionam com as coordenadas no sistema ( ). Geralmente, essa relação pode ser descrita por uma matriz de transformação, que envolve rotações, translações ou mudanças de escala. Suponhamos que a transformação seja linear e representada por uma matriz :

[

A

]
Onde é uma matriz que transforma as coordenadas de para .

Passo 3

Agora, vamos substituir as coordenadas 2x - y + z = 0 da equação do plano 2(a11x' + a12y' + a13z') - (a21x' + a22y' + a23z') + (a31x' + a32y' + a33z') = 0 em a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 pelas expressões em termos de usando a matriz de transformação . A equação original do plano é:
Substituindo pelas expressões transformadas:
Onde .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão acima agrupando os termos de (2a11 - a21 + a31)x' + (2a12 - a22 + a32)y' + (2a13 - a23 + a33)z' = 0 , A'x' + B'y' + C'z' + D' = 0 e A' = 2a11 - a21 + a31 B' = 2a12 - a22 + a32 C' = 2a13 - a23 + a33 D' = 0 :
Isso nos dá uma nova equação na forma geral do plano no sistema :
Onde:

Resposta

A equação geral do plano (2a11 - a21 + a31)x' + (2a12 - a22 + a32)y' + (2a13 - a23 + a33)z' = 0 no sistema de coordenadas é:

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