Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de cônica que é . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra para simplificar essa equação, fazendo traduções e rotações no sistema de coordenadas. Vamos precisar eliminar o termo cruzado usando uma rotação e depois identificar que tipo de cônica a gente tem aqui. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação geral de uma cônica pode ter termos como , , , , , e constantes. Aqui, temos o termo , que indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos originais. Para simplificar, vamos eliminar esse termo cruzado fazendo uma rotação dos eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo , usamos uma rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação é:
O ângulo que vai eliminar o termo é dado por:
Onde, na nossa equação, , , e . Então:
Isso indica que ou , então ou . Vamos usar para simplificar.

Passo 4

Aplicando a rotação de , temos:
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, a equação está simplificada para:
Podemos dividir ambos os lados por 2:
Essa é a equação padrão de uma parábola no sistema rotacionado , onde a parábola está aberta na direção positiva do eixo .

Passo 6

Identificando a cônica, vemos que a equação simplificada é a de uma parábola. Portanto, a cônica dada é uma parábola.

Passo 7

Para fazer o esboço, imaginamos dois sistemas de coordenadas: o original e o rotacionado onde a parábola está na forma simplificada . No sistema original, a parábola está inclinada em devido à rotação aplicada. No sistema rotacionado, ela abre para a direita sem inclinação.

Resposta

(i) A equação reduzida da cônica no sistema rotacionado é .
(ii) Utilizamos uma rotação de para simplificar a equação.
(iii) A cônica é uma parábola.
(iv) O esboço mostra a parábola inclinada no sistema original e alinhada no sistema rotacionado , com a abertura para a direita.

Exercícios relacionados

Se denota a representação de um ponto no sistema de coordenadas , considere o plano expresso neste sistema como .
(a) Obtenha uma equação geral do plano , em relação ao sistema de coordenadas do Exercício 1.
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(a) .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
© .
Sejam e dois sistemas de coordenadas de , tais que , com as coordenadas do ponto no sistema sendo . Neste cenário, obtenha as equações paramétricas da reta , em relação ao sistema .