Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas (x, y) bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(e) x^2+y^2-2 x y-8 raiz2 x-8 raiz2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de cônica que é x^2 + y^2 - 2xy - 8raiz2x - 8raiz2y = 0. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra para simplificar essa equação, fazendo traduções e rotações no sistema de coordenadas. Vamos precisar eliminar o termo cruzado xy usando uma rotação e depois identificar que tipo de cônica a gente tem aqui. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação geral de uma cônica pode ter termos como x^2, y^2, xy, x, y, e constantes. Aqui, temos o termo -2xy, que indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos originais. Para simplificar, vamos eliminar esse termo cruzado fazendo uma rotação dos eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo xy, usamos uma rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação é:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
O ângulo theta que vai eliminar o termo xy é dado por:
tan(2theta) = BA - C
Onde, na nossa equação, A = 1, B = -2, e C = 1. Então:
tan(2theta) = -21 - 1 = -20
Isso indica que 2theta = -pi2 ou 270^circ, então theta = -pi4 ou -45^circ. Vamos usar 45^circ para simplificar.

Passo 4

Aplicando a rotação de 45^circ, temos:
x = x' - y'raiz2
y = x' + y'raiz2
Substituindo na equação original:
(x' - y'raiz2)^2 + (x' + y'raiz2)^2 - 2(x' - y'raiz2)(x' + y'raiz2) - 8raiz2(x' - y'raiz2) - 8raiz2(x' + y'raiz2) = 0
Simplificando os termos:
(x')^2 - 2x'y' + (y')^22 + (x')^2 + 2x'y' + (y')^22 - 2(x')^2 - 2(y')^22 - 8(x' - y') - 8(x' + y') = 0
2(x')^2 + 2(y')^22 - 2(x')^2 - 2(y')^22 - 16x' = 0
(x')^2 + (y')^2 - (x')^2 + (y')^2 - 16x' = 0
2(y')^2 - 16x' = 0

Passo 5

Agora, a equação está simplificada para:
2(y')^2 - 16x' = 0
Podemos dividir ambos os lados por 2:
(y')^2 - 8x' = 0
Essa é a equação padrão de uma parábola no sistema rotacionado (x', y'), onde a parábola está aberta na direção positiva do eixo x'.

Passo 6

Identificando a cônica, vemos que a equação simplificada é a de uma parábola. Portanto, a cônica dada é uma parábola.

Passo 7

Para fazer o esboço, imaginamos dois sistemas de coordenadas: o original (x, y) e o rotacionado (x', y') onde a parábola está na forma simplificada (y')^2 = 8x'. No sistema original, a parábola está inclinada em 45^circ devido à rotação aplicada. No sistema rotacionado, ela abre para a direita sem inclinação.

Resposta

(i) A equação reduzida da cônica no sistema rotacionado é (y')^2 = 8x'.
(ii) Utilizamos uma rotação de 45^circ para simplificar a equação.
(iii) A cônica é uma parábola.
(iv) O esboço mostra a parábola inclinada no sistema original (x, y) e alinhada no sistema rotacionado (x', y'), com a abertura para a direita.

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