Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas
bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(e)
.
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de cônica que é
. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra para simplificar essa equação, fazendo traduções e rotações no sistema de coordenadas. Vamos precisar eliminar o termo cruzado
usando uma rotação e depois identificar que tipo de cônica a gente tem aqui. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a equação geral de uma cônica pode ter termos como
,
,
,
,
, e constantes. Aqui, temos o termo
, que indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos originais. Para simplificar, vamos eliminar esse termo cruzado fazendo uma rotação dos eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos uma rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação é:
O ângulo
que vai eliminar o termo
é dado por:
Onde, na nossa equação,
,
, e
. Então:
Isso indica que
ou
, então
ou
. Vamos usar
para simplificar.
Passo 4
Aplicando a rotação de
, temos:
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, a equação está simplificada para:
Podemos dividir ambos os lados por 2:
Essa é a equação padrão de uma parábola no sistema rotacionado
, onde a parábola está aberta na direção positiva do eixo
.
Passo 6
Identificando a cônica, vemos que a equação simplificada é a de uma parábola. Portanto, a cônica dada é uma parábola.
Passo 7
Para fazer o esboço, imaginamos dois sistemas de coordenadas: o original
e o rotacionado
onde a parábola está na forma simplificada
. No sistema original, a parábola está inclinada em
devido à rotação aplicada. No sistema rotacionado, ela abre para a direita sem inclinação.
Resposta
(i) A equação reduzida da cônica no sistema rotacionado é
.
(ii) Utilizamos uma rotação de
para simplificar a equação.
(iii) A cônica é uma parábola.
(iv) O esboço mostra a parábola inclinada no sistema original
e alinhada no sistema rotacionado
, com a abertura para a direita.