Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da cônica:
O conteúdo que vamos usar aqui são cônicas e os métodos de translação e rotação para simplificar a equação. Vamos precisar identificar se a cônica é uma elipse, hipérbole ou parábola, e para isso, vamos manipular a equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos termos mistos, ou seja, o termo . Isso indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
A fórmula para rotação de coordenadas é:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que elimina o termo na nova equação.
Passo 3
Para eliminar o termo , usamos a condição:
Onde na nossa equação original:
Então,
Agora, calculamos :
Passo 4
Com o ângulo de rotação , aplicamos a transformação nas coordenadas para eliminar o termo . Substituímos e pelas expressões em e :
Depois de substituir na equação original e simplificar, obtemos uma equação sem o termo .
Passo 5
Após a substituição e simplificação, a equação reduzida fica na forma padrão de uma hipérbole:
Isso nos indica que a cônica é uma hipérbole.
Passo 6
Agora, para fazer o esboço, desenhamos a hipérbole na nova coordenada , que é a coordenada rotacionada. Também desenhamos o sistema original para visualizar como a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos padrão.
Resposta
A cônica dada é uma hipérbole que foi rotacionada aproximadamente em relação aos eixos coordenados. Após a rotação, a equação simplificada é:
O esboço mostra a hipérbole no sistema de coordenadas rotacionado junto com o sistema original .