Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da cônica:
O conteúdo que vamos usar aqui são cônicas e os métodos de translação e rotação para simplificar a equação. Vamos precisar identificar se a cônica é uma elipse, hipérbole ou parábola, e para isso, vamos manipular a equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos termos mistos, ou seja, o termo . Isso indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
A fórmula para rotação de coordenadas é:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que elimina o termo na nova equação.

Passo 3

Para eliminar o termo , usamos a condição:
Onde na nossa equação original:
Então,
Agora, calculamos :

Passo 4

Com o ângulo de rotação , aplicamos a transformação nas coordenadas para eliminar o termo . Substituímos e pelas expressões em e :
Depois de substituir na equação original e simplificar, obtemos uma equação sem o termo .

Passo 5

Após a substituição e simplificação, a equação reduzida fica na forma padrão de uma hipérbole:
Isso nos indica que a cônica é uma hipérbole.

Passo 6

Agora, para fazer o esboço, desenhamos a hipérbole na nova coordenada , que é a coordenada rotacionada. Também desenhamos o sistema original para visualizar como a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos padrão.

Resposta

A cônica dada é uma hipérbole que foi rotacionada aproximadamente em relação aos eixos coordenados. Após a rotação, a equação simplificada é:
O esboço mostra a hipérbole no sistema de coordenadas rotacionado junto com o sistema original .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(e) .
Se denota a representação de um ponto no sistema de coordenadas , considere o plano expresso neste sistema como .
(a) Obtenha uma equação geral do plano , em relação ao sistema de coordenadas do Exercício 1.
Sejam e dois sistemas de coordenadas de , tais que , com as coordenadas do ponto no sistema sendo . Neste cenário, obtenha as equações paramétricas da reta , em relação ao sistema .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(d) .