Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas (x, y) bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
© x^2-5 x y-11 y^2-x+37 y+52=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da cônica:
x^2 - 5xy - 11y^2 - x + 37y + 52 = 0
O conteúdo que vamos usar aqui são cônicas e os métodos de translação e rotação para simplificar a equação. Vamos precisar identificar se a cônica é uma elipse, hipérbole ou parábola, e para isso, vamos manipular a equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos termos mistos, ou seja, o termo xy. Isso indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
A fórmula para rotação de coordenadas é:
x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta
Nosso objetivo é encontrar o ângulo theta que elimina o termo x'y' na nova equação.

Passo 3

Para eliminar o termo x'y', usamos a condição:
tan(2theta) = BA - C
Onde na nossa equação original:
  • A = 1
  • B = -5
  • C = -11
Então,
tan(2theta) = -51 - (-11) = -512
Agora, calculamos theta:
2theta = arctan(-512) theta = 12 arctan(-512) approx -11,31^circ

Passo 4

Com o ângulo de rotação theta approx -11,31^circ, aplicamos a transformação nas coordenadas para eliminar o termo xy. Substituímos x e y pelas expressões em x' e y':
x = x'cos(-11,31^circ) - y'sin(-11,31^circ) y = x'sin(-11,31^circ) + y'cos(-11,31^circ)
Depois de substituir na equação original e simplificar, obtemos uma equação sem o termo x'y'.

Passo 5

Após a substituição e simplificação, a equação reduzida fica na forma padrão de uma hipérbole:
x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1
Isso nos indica que a cônica é uma hipérbole.

Passo 6

Agora, para fazer o esboço, desenhamos a hipérbole na nova coordenada (x', y'), que é a coordenada rotacionada. Também desenhamos o sistema original (x, y) para visualizar como a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos padrão.

Resposta

A cônica dada é uma hipérbole que foi rotacionada aproximadamente -11,31^circ em relação aos eixos coordenados. Após a rotação, a equação simplificada é:
x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1
O esboço mostra a hipérbole no sistema de coordenadas rotacionado (x', y') junto com o sistema original (x, y).

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