Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas
bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
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(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da cônica:
O conteúdo que vamos usar aqui são cônicas e os métodos de translação e rotação para simplificar a equação. Vamos precisar identificar se a cônica é uma elipse, hipérbole ou parábola, e para isso, vamos manipular a equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos termos mistos, ou seja, o termo
. Isso indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
A fórmula para rotação de coordenadas é:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo
que elimina o termo
na nova equação.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos a condição:
Onde na nossa equação original:
Então,
Agora, calculamos
:
Passo 4
Com o ângulo de rotação
, aplicamos a transformação nas coordenadas para eliminar o termo
. Substituímos
e
pelas expressões em
e
:
Depois de substituir na equação original e simplificar, obtemos uma equação sem o termo
.
Passo 5
Após a substituição e simplificação, a equação reduzida fica na forma padrão de uma hipérbole:
Isso nos indica que a cônica é uma hipérbole.
Passo 6
Agora, para fazer o esboço, desenhamos a hipérbole na nova coordenada
, que é a coordenada rotacionada. Também desenhamos o sistema original
para visualizar como a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos padrão.
Resposta
A cônica dada é uma hipérbole que foi rotacionada aproximadamente
em relação aos eixos coordenados. Após a rotação, a equação simplificada é:
O esboço mostra a hipérbole no sistema de coordenadas rotacionado
junto com o sistema original
.