Sejam Sigma1=(O, E)=(O, e1, e2, e3) e Sigma2=(O, F)=(O^prime, f1, f2, f3) dois sistemas de coordenadas de R^3, tais que f1=e1, f2=-e3, f3=e2, com as coordenadas do ponto O^prime no sistema Sigma1 sendo O^prime=(1,0,0)Sigma1. Neste cenário, obtenha as equações paramétricas da reta r:(x, y, z)Sigma1= (0,0,0)Sigma1+lambda(0,1,1)E, lambda in R, em relação ao sistema Sigma2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta em relação ao sistema de coordenadas . A gente trabalha com sistemas de coordenadas em e precisamos entender como transformar as coordenadas de um sistema para o outro. Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os sistemas de coordenadas f1 = e1, f2 = -e3, f3 = e2 e estão relacionados. Sabemos que:
Isso significa que os vetores base de são combinações dos vetores base de . Além disso, o ponto no sistema tem coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos considerar a reta (x, y, z)Sigma1 = (0,0,0)Sigma1 + lambda (0,1,1)Sigma1, lambda in R dada em :
Isso significa que a reta passa pela origem de e tem direção no vetor .

Passo 4

Para encontrar as equações paramétricas em (0,1,1)Sigma1 = 0e1 + 1e2 + 1e3 = 0f1 + 1f3 -1f2 , precisamos expressar os pontos da reta em termos da base .
Primeiro, vamos representar o vetor direção na base de :
Portanto, em , o vetor direção fica .

Passo 5

Além disso, o ponto de origem OSigma2 = OSigma1 - O' = (0,0,0)Sigma1 - (1,0,0)Sigma1 = (-1,0,0)Sigma1 no sistema (-1,0,0)Sigma1 = -1f1 + 0f2 + 0f3 = (-1,0,0)Sigma2 tem coordenadas:
Convertendo para :

Resposta

As equações paramétricas da reta (x, y, z)Sigma2 = (-1, 0, 0)Sigma2 + lambda (0, -1, 1)Sigma2, lambda in R em relação ao sistema são:

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