Sejam e dois sistemas de coordenadas de , tais que , com as coordenadas do ponto no sistema sendo . Neste cenário, obtenha as equações paramétricas da reta , em relação ao sistema .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta em relação ao sistema de coordenadas . A gente trabalha com sistemas de coordenadas em e precisamos entender como transformar as coordenadas de um sistema para o outro. Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os sistemas de coordenadas e estão relacionados. Sabemos que:
Isso significa que os vetores base de são combinações dos vetores base de . Além disso, o ponto no sistema tem coordenadas .
Passo 3
Agora, vamos considerar a reta dada em :
Isso significa que a reta passa pela origem de e tem direção no vetor .
Passo 4
Para encontrar as equações paramétricas em , precisamos expressar os pontos da reta em termos da base .
Primeiro, vamos representar o vetor direção na base de :
Portanto, em , o vetor direção fica .
Passo 5
Além disso, o ponto de origem no sistema tem coordenadas:
Convertendo para :
Resposta
As equações paramétricas da reta em relação ao sistema são: