Sejam e dois sistemas de coordenadas de , tais que , com as coordenadas do ponto no sistema sendo . Neste cenário, obtenha as equações paramétricas da reta , em relação ao sistema .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta em relação ao sistema de coordenadas . A gente trabalha com sistemas de coordenadas em e precisamos entender como transformar as coordenadas de um sistema para o outro. Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os sistemas de coordenadas e estão relacionados. Sabemos que:
Isso significa que os vetores base de são combinações dos vetores base de . Além disso, o ponto no sistema tem coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos considerar a reta dada em :
Isso significa que a reta passa pela origem de e tem direção no vetor .

Passo 4

Para encontrar as equações paramétricas em , precisamos expressar os pontos da reta em termos da base .
Primeiro, vamos representar o vetor direção na base de :
Portanto, em , o vetor direção fica .

Passo 5

Além disso, o ponto de origem no sistema tem coordenadas:
Convertendo para :

Resposta

As equações paramétricas da reta em relação ao sistema são:

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Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
© .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(e) .
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(d) .
Passar o ponto para o sistema cilíndrico.