Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas (x, y) bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(d) 4 x^2-4 x y+y^2-8 raiz5 x-16 raiz5 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cônicas! A gente vai trabalhar com uma equação que tem , , e , então estamos lidando com uma cônica geral. Para simplificar essa equação, vamos precisar usar translações e rotações de coordenadas. Vamos ver cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
4x^2 - 4xy + y^2 - 8raiz5x - 16raiz5y = 0
Nosso objetivo é simplificar essa equação encontrando uma nova coordenada onde ela fique mais fácil de identificar a cônica.

Passo 3

Como temos o termo tan(2theta) = BA - C , isso indica que o gráfico está rotacionado. Para eliminar o termo tan(2theta) = -44 - 1 = -43 , vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para eliminar o termo 2theta = arctan(-43) approx -53,13^circ é escolher um ângulo theta approx -26,57^circ tal que:
Onde , e . Vamos calcular :
Então,
Dividindo por 2:

Passo 4

Agora que temos o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , vamos fazer a substituição das coordenadas:
y = x'sintheta + y'costheta
Isso vai transformar a equação original e eliminar o termo , simplificando a expressão.

Passo 5

Após substituir x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1 e nas novas coordenadas e simplificar, a equação se torna:
Onde e são constantes que determinam o tamanho dos eixos da cônica.

Passo 6

Com a equação na forma reduzida, vemos que ela representa uma elipse porque temos termos positivos com coeficientes diferentes. A presença do termo rotacionado também nos confirma isso.

Passo 7

Para fazer o esboço, desenhamos as coordenadas originais e as novas coordenadas rotacionadas em . A elipse estará alinhada com os eixos e , facilitando a visualização.

Resposta

A equação dada foi reduzida a uma elipse na forma padrão após uma rotação de aproximadamente . O esboço inclui tanto o sistema de coordenadas original quanto o sistema rotacionado , onde a elipse está alinhada com os eixos e .

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