Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cônicas! A gente vai trabalhar com uma equação que tem , , e , então estamos lidando com uma cônica geral. Para simplificar essa equação, vamos precisar usar translações e rotações de coordenadas. Vamos ver cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nosso objetivo é simplificar essa equação encontrando uma nova coordenada onde ela fique mais fácil de identificar a cônica.
Passo 3
Como temos o termo , isso indica que o gráfico está rotacionado. Para eliminar o termo , vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para eliminar o termo é escolher um ângulo tal que:
Onde , e . Vamos calcular :
Então,
Dividindo por 2:
Passo 4
Agora que temos o ângulo de rotação , vamos fazer a substituição das coordenadas:
Isso vai transformar a equação original e eliminar o termo , simplificando a expressão.
Passo 5
Após substituir e nas novas coordenadas e simplificar, a equação se torna:
Onde e são constantes que determinam o tamanho dos eixos da cônica.
Passo 6
Com a equação na forma reduzida, vemos que ela representa uma elipse porque temos termos positivos com coeficientes diferentes. A presença do termo rotacionado também nos confirma isso.
Passo 7
Para fazer o esboço, desenhamos as coordenadas originais e as novas coordenadas rotacionadas em . A elipse estará alinhada com os eixos e , facilitando a visualização.
Resposta
A equação dada foi reduzida a uma elipse na forma padrão após uma rotação de aproximadamente . O esboço inclui tanto o sistema de coordenadas original quanto o sistema rotacionado , onde a elipse está alinhada com os eixos e .