Passar o ponto B=(-1,1,3) para o sistema cilíndrico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa transformar o ponto do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas cilíndricas. A matéria aqui envolve entender como converter coordenadas de um sistema para outro, usando algumas fórmulas básicas de geometria. Vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o raio , o ângulo e o valor de no sistema cilíndrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio r = raizx^2 + y^2 . No sistema cilíndrico, r = raiz(-1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,414 é a distância do ponto até o eixo . Para calcular isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores de e do ponto :

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo theta = tan^-1(yx) . Esse ângulo é medido a partir do eixo theta = tan^-1(1-1) = tan^-1(-1) positivo até a projeção do ponto no plano theta = -pi4 + pi = 3pi4 . A fórmula para é:
Para o ponto :
Sabemos que é , mas como é negativo e é positivo, o ponto está no segundo quadrante. Portanto, devemos adicionar para encontrar o ângulo correto:

Passo 4

Por último, o valor de z = 3 permanece o mesmo no sistema cilíndrico. Então, para o ponto :

Resposta

Portanto, as coordenadas cilíndricas do ponto (r, theta, z) = ( raiz2, 3pi4, 3 ) são:

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