Encontre o centro da circunferência circunscrita no triângulo de vértices A=(0,-5), B=(-1,2) e C=(6,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centro da circunferência que passa por todos os pontos de um triângulo com vértices em A=(0,-5), B=(-1,2) e C=(6,3). Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o ponto onde as bissetrizes perpendiculares dos lados do triângulo se encontram, que é o centro da circunferência circunscrita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de dois lados do triângulo. Vamos começar com os lados AB e AC.
Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), usamos a fórmula:
( x1 + x22, y1 + y22 )
Então, para o lado AB:
Médio AB = ( 0 + (-1)2, -5 + 22 ) = ( -12, -32 ) é
E para o lado AC:
Médio AC = ( 0 + 62, -5 + 32 ) = ( 3, -1 ) é

Passo 3

Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados AB e AC. A inclinação de uma reta que passa por (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Para o lado AB:
mAB = 2 - (-5)-1 - 0 = 7-1 = -7
Para o lado AC:
mAC = 3 - (-5)6 - 0 = 86 = 43

Passo 4

As bissetrizes perpendiculares terão inclinações que são os negativos dos inversos das inclinações dos lados. Isso porque duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é -1.
Então, para a bissetriz de AB:
mperp AB = 17
E para a bissetriz de AC:
mperp AC = -34

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações das bissetrizes perpendiculares que passam pelos pontos médios que encontramos.
A equação da reta na forma ponto-inclinação é:
y - y0 = m(x - x0)
Para a bissetriz de AB, passando por ( -12, -32 ):
y - (-32) = 17(x - (-12))
Simplificando:
y + 32 = 17(x + 12)
y = 17x + 114 - 32
y = 17x - 2014 = 17x - 107
Para a bissetriz de AC, passando por (3, -1):
y - (-1) = -34(x - 3)
Simplificando:
y + 1 = -34x + 94
y = -34x + 94 - 1
y = -34x + 54

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o ponto onde essas duas bissetrizes se cruzam, ou seja, resolver o sistema de equações:
y = 17x - 107 y = -34x + 54
Igualando as duas expressões para y:
17x - 107 = -34x + 54
Multiplicando todos os termos por 28 (mínimo múltiplo comum de 7 e 4) para eliminar as frações:
4x - 40 = -21x + 35
Somando 21x em ambos os lados:
25x - 40 = 35
Somando 40 em ambos os lados:
25x = 75
Dividindo por 25:
x = 3
Agora, substituímos x=3 em uma das equações para encontrar y:
y = 17(3) - 107 = 3 - 107 = -77 = -1

Resposta

O centro da circunferência circunscrita ao triângulo é o ponto (3, -1).

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