Encontre o centro da circunferência circunscrita no triângulo de vértices , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centro da circunferência que passa por todos os pontos de um triângulo com vértices em , e . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o ponto onde as bissetrizes perpendiculares dos lados do triângulo se encontram, que é o centro da circunferência circunscrita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de dois lados do triângulo. Vamos começar com os lados e .
Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta entre dois pontos e , usamos a fórmula:
Então, para o lado :
é
E para o lado :
é

Passo 3

Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados e . A inclinação de uma reta que passa por e é dada por:
Para o lado :
Para o lado :

Passo 4

As bissetrizes perpendiculares terão inclinações que são os negativos dos inversos das inclinações dos lados. Isso porque duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é .
Então, para a bissetriz de :
E para a bissetriz de :

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações das bissetrizes perpendiculares que passam pelos pontos médios que encontramos.
A equação da reta na forma ponto-inclinação é:
Para a bissetriz de , passando por :
Simplificando:
Para a bissetriz de , passando por :
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o ponto onde essas duas bissetrizes se cruzam, ou seja, resolver o sistema de equações:
Igualando as duas expressões para :
Multiplicando todos os termos por 28 (mínimo múltiplo comum de 7 e 4) para eliminar as frações:
Somando em ambos os lados:
Somando em ambos os lados:
Dividindo por 25:
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar :

Resposta

O centro da circunferência circunscrita ao triângulo é o ponto .

Exercícios relacionados

Passar o ponto para o sistema cilíndrico.
Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações.
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo (em radianos ou graus).
(iii) Reconheça (ou seja, dê o nome, desta cônica)
(iv) Faça o esboço da cônica, juntamente com o sistema de coordenadas bem como o sistema de coordenadas em que a cônica tem a equação reduzida obtida em (i).
(d) .
Scja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Verifique que é base de . Sugestão: Basta mostrar que ć L.I. (valor:0,7)
Dado , determine as coordenadas de em relação à base . (valor:1,3)