Encontre o centro da circunferência circunscrita no triângulo de vértices , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centro da circunferência que passa por todos os pontos de um triângulo com vértices em , e . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o ponto onde as bissetrizes perpendiculares dos lados do triângulo se encontram, que é o centro da circunferência circunscrita.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de dois lados do triângulo. Vamos começar com os lados e .
Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta entre dois pontos e , usamos a fórmula:
Então, para o lado :
E para o lado :
Passo 3
Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados e . A inclinação de uma reta que passa por e é dada por:
Para o lado :
Para o lado :
Passo 4
As bissetrizes perpendiculares terão inclinações que são os negativos dos inversos das inclinações dos lados. Isso porque duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é .
Então, para a bissetriz de :
E para a bissetriz de :
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações das bissetrizes perpendiculares que passam pelos pontos médios que encontramos.
A equação da reta na forma ponto-inclinação é:
Para a bissetriz de , passando por :
Simplificando:
Para a bissetriz de , passando por :
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o ponto onde essas duas bissetrizes se cruzam, ou seja, resolver o sistema de equações:
Igualando as duas expressões para :
Multiplicando todos os termos por 28 (mínimo múltiplo comum de 7 e 4) para eliminar as frações:
Somando em ambos os lados:
Somando em ambos os lados:
Dividindo por 25:
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar :
Resposta
O centro da circunferência circunscrita ao triângulo é o ponto .