Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o)
.
(o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
. O que a gente precisa fazer aqui é colocar essa equação na forma padrão, identificar de que tipo de curva estamos lidando, e depois fazer o gráfico dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente completamento de quadrados e identificação de formas padrão de equações de parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma padrão. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar o termo
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por 12:
Agora, somamos 6 em ambos os lados para isolar
:
Passo 3
Agora que temos a equação na forma
, podemos comparar com a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
Onde
é o vértice da parábola e
determina a abertura da parábola.
Passo 4
Comparando nossas equações, vemos que:
Isso significa que o vértice da parábola está no ponto
, e como
é positivo, a parábola abre para cima.
Passo 5
Agora, para classificar a curva: como temos uma equação quadrática em
e a gráfica abre para cima, estamos lidando com uma parábola. Então, a equação
representa uma parábola com vértice em
que abre para cima.
Passo 6
Por último, vamos fazer o gráfico dessa parábola. Sabemos que o vértice é
. Como
, a parábola é relativamente “aberta”. Podemos traçar alguns pontos adicionais substituindo valores de
e encontrando os correspondentes valores de
.
Gráfico:
A parábola terá seu vértice em e abrirá para cima. Ela será simétrica em relação ao eixo
.
A parábola terá seu vértice em
Resposta
A equação
na forma padrão é
. Trata-se de uma parábola com vértice em
que abre para cima.
Exercícios relacionados
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
(i) , onde
e
, para todo
,
(ii) é limitada para
, quando
,
(iii) , para
quando
,
é
(i)
(ii)
(iii)
é
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) .
(a)
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(u) .
(u)
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(a)
$(a)