Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(u) -4 x^2 + y^2 + 32 x - 4 y - 24 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática aqui: . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão das conicas, classificar qual tipo de conica é essa e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado e entender um pouquinho sobre as formas padrão das conicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os termos de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Peguemos os termos que envolvem :
Vamos fatorar o de fora:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos dentro do parênteses:
Distribuindo o :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de :
Aqui, o coeficiente de é . Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
Vamos simplificar os números:
Subtraindo 60 de ambos os lados:

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por :

Passo 7

Agora, vamos classificar a conica. A equação está na forma:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transversal horizontal. Portanto, nossa conica é uma hipérbole.

Passo 8

Por fim, para desenhar o gráfico, identificamos o centro da hipérbole, que está no ponto . Os valores de e são e , respectivamente. Com esses valores, a hipérbole se abre para a direita e para a esquerda a partir do centro.

Resposta

A equação na forma padrão é . Trata-se de uma hipérbole com centro no ponto , que se abre horizontalmente.

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Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) x^2 = 12(y - 6).
Mostrar que a solução da equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t
que satisfaz as condições
(i) partial upartial x=0, onde x=0 e x=a, para todo t,
(ii) u é limitada para -a <= x <= a, quando t infty,
(iii) u=|x|, para -a <= x <= a quando t=0,
é
y=12 a-4 api^2 sumn=0^infty 1(2 n+1)^2 cos (2 n+1) pi xa e^-[(2 n+1)^2 k pi^2 t] / a^2
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(a) a
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(b) b;