Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(u)
.
(u)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática aqui:
. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão das conicas, classificar qual tipo de conica é essa e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado e entender um pouquinho sobre as formas padrão das conicas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Peguemos os termos que envolvem
:
Vamos fatorar o
de fora:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos
dentro do parênteses:
Distribuindo o
:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
Aqui, o coeficiente de
é
. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Vamos simplificar os números:
Subtraindo 60 de ambos os lados:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por
:
Passo 7
Agora, vamos classificar a conica. A equação está na forma:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transversal horizontal. Portanto, nossa conica é uma hipérbole.
Passo 8
Por fim, para desenhar o gráfico, identificamos o centro da hipérbole, que está no ponto
. Os valores de
e
são
e
, respectivamente. Com esses valores, a hipérbole se abre para a direita e para a esquerda a partir do centro.
Resposta
A equação na forma padrão é
. Trata-se de uma hipérbole com centro no ponto
, que se abre horizontalmente.
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Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) .
(o)
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
(i) , onde
e
, para todo
,
(ii) é limitada para
, quando
,
(iii) , para
quando
,
é
(i)
(ii)
(iii)
é
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(a)
$(a)
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(b) ;
$(b)