Em cada um dos itens abaixo, representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante . Determine: A velocidade e aceleração da partícula no instante . Além disso, responda em quais instantes a partícula está parada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra a posição de uma partícula ao longo do tempo: . Nosso objetivo é descobrir a velocidade e a aceleração dessa partícula no instante . Além disso, queremos saber em quais momentos a partícula está parada, ou seja, quando a velocidade dela é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é . Aqui, e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Multiplicando os termos:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, .

Passo 8

Vamos derivar usando novamente a regra do quociente. Aqui, e .

Passo 9

Calculando as derivadas de e :

Passo 10

Aplicando a regra do quociente:

Passo 11

Agora que temos as funções da velocidade e da aceleração, vamos calcular seus valores no instante .

Passo 12

Calculando a velocidade em :

Passo 13

Calculando a aceleração em :

Passo 14

Agora, vamos descobrir em quais instantes a partícula está parada. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero, ou seja, .

Passo 15

Temos:
Para essa fração ser zero, o numerador deve ser zero:

Resposta

No instante :
  • Velocidade da partícula é .
  • Aceleração da partícula é .
A partícula está parada somente no instante .

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