Em cada um dos itens abaixo,
representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante
. Determine: A velocidade e aceleração da partícula no instante
. Além disso, responda em quais instantes a partícula está parada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra a posição de uma partícula ao longo do tempo:
. Nosso objetivo é descobrir a velocidade e a aceleração dessa partícula no instante
. Além disso, queremos saber em quais momentos a partícula está parada, ou seja, quando a velocidade dela é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular
.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Multiplicando os termos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
.
Passo 8
Vamos derivar
usando novamente a regra do quociente. Aqui,
e
.
Passo 9
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 10
Aplicando a regra do quociente:
Passo 11
Agora que temos as funções da velocidade e da aceleração, vamos calcular seus valores no instante
.
Passo 12
Calculando a velocidade em
:
Passo 13
Calculando a aceleração em
:
Passo 14
Agora, vamos descobrir em quais instantes a partícula está parada. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero, ou seja,
.
Passo 15
Temos:
Para essa fração ser zero, o numerador deve ser zero:
Resposta
No instante
:
- Velocidade da partícula é
. - Aceleração da partícula é
.
A partícula está parada somente no instante
.