Em cada um dos itens abaixo,
representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante
. Determine: A velocidade e aceleração da partícula no instante
. Além disso, responda em quais instantes a partícula está parada.
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de Cinemática, que é a parte da Física que estuda o movimento das partículas. O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo:
. Precisamos encontrar a velocidade e a aceleração da partícula no instante
e também descobrir em quais momentos a partícula está parada. Para isso, vamos usar as derivadas: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo
:
Passo 4
Vamos encontrar a velocidade no instante
. Substituímos
por 0 na expressão da velocidade:
Isso significa que no instante
, a velocidade da partícula é 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração no instante
. Substituímos
por 0 na expressão da aceleração:
Então, no instante
, a aceleração da partícula é 0.
Passo 6
Para descobrir em quais instantes a partícula está parada, precisamos encontrar os tempos
onde a velocidade é zero:
Passo 7
Resolvendo a equação
, sabemos que o cosseno é zero nos pontos:
Isso significa que a partícula está parada nos instantes
para qualquer número inteiro
.
Resposta
No instante
, a velocidade da partícula é
e a aceleração é
. A partícula está parada nos instantes
, onde
é um número inteiro.