Em cada um dos itens abaixo, representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante . Determine: A velocidade e aceleração da partícula no instante . Além disso, responda em quais instantes a partícula está parada.
.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Cinemática, que é a parte da Física que estuda o movimento das partículas. O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo: . Precisamos encontrar a velocidade e a aceleração da partícula no instante e também descobrir em quais momentos a partícula está parada. Para isso, vamos usar as derivadas: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo :

Passo 4

Vamos encontrar a velocidade no instante . Substituímos por 0 na expressão da velocidade:
Isso significa que no instante , a velocidade da partícula é 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração no instante . Substituímos por 0 na expressão da aceleração:
Então, no instante , a aceleração da partícula é 0.

Passo 6

Para descobrir em quais instantes a partícula está parada, precisamos encontrar os tempos onde a velocidade é zero:

Passo 7

Resolvendo a equação , sabemos que o cosseno é zero nos pontos:
éú
Isso significa que a partícula está parada nos instantes para qualquer número inteiro .

Resposta

No instante , a velocidade da partícula é e a aceleração é . A partícula está parada nos instantes , onde é um número inteiro.

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