Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 cm de altura e uma base de 4 cm de raio. A água flui no tanque a uma taxa de
. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundida for de
?
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas envolvendo um tanque em forma de cone invertido. O tanque tem 16 metros de altura e 4 metros de raio na base. A água está entrando no tanque a uma taxa de 2 metros cúbicos por minuto. Queremos descobrir com que velocidade o nível da água está subindo quando a profundidade da água for de 5 metros.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a forma do tanque. Como ele é um cone invertido, a relação entre o raio da superfície da água e a altura da água é proporcional. Isso significa que podemos relacionar o raio da água (r) com a altura da água (h) usando as dimensões do tanque.
Passo 3
A relação proporcional é dada por:
Onde:
-
é o raio do tanque. -
é a altura total do tanque.
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume da água no tanque em função da altura
. O volume
de um cone é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar a velocidade com que a altura da água está aumentando (
), precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Sabemos que
, e queremos encontrar
quando
. Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade com que o nível da água está subindo quando a profundidade é de 5 metros é aproximadamente 0,407 metros por minuto.