Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 cm de altura e uma base de 4 cm de raio. A água flui no tanque a uma taxa de 2 m^3 / min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundida for de 5 m ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas envolvendo um tanque em forma de cone invertido. O tanque tem 16 metros de altura e 4 metros de raio na base. A água está entrando no tanque a uma taxa de 2 metros cúbicos por minuto. Queremos descobrir com que velocidade o nível da água está subindo quando a profundidade da água for de 5 metros.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma do tanque. Como ele é um cone invertido, a relação entre o raio da superfície da água e a altura da água é proporcional. Isso significa que podemos relacionar o raio da água (r) com a altura da água (h) usando as dimensões do tanque.

Passo 3

A relação proporcional é dada por:
Onde:
  • é o raio do tanque.
  • é a altura total do tanque.
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume da água no tanque em função da altura . O volume de um cone é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Para encontrar a velocidade com que a altura da água está aumentando ( ), precisamos derivar em relação ao tempo :
Sabemos que , e queremos encontrar quando . Substituindo os valores:
Resolvendo para :

Resposta

A velocidade com que o nível da água está subindo quando a profundidade é de 5 metros é aproximadamente 0,407 metros por minuto.

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