Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x^{3}-1} d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Essa questão está dentro da área de cálculo integral, especificamente usando técnicas de frações parciais. Para resolver, precisaremos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
Isso nos ajuda a simplificar a fração para decompor em frações parciais.

Passo 3

Agora, expressamos como uma soma de frações parciais:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda:
  3. Substituindo C na terceira:
  4. Então, e

Passo 7

Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 9

A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos decompô-la:
Podemos separar em duas frações:

Passo 10

Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
Mas temos apenas , então ajustamos:
Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador:
Assim:

Passo 11

Juntando todas as partes, temos:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
onde C é a constante de integração.

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