Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x^{3}-1} d x
Passo 1
Vamos calcular a integral . Essa questão está dentro da área de cálculo integral, especificamente usando técnicas de frações parciais. Para resolver, precisaremos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que podemos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
Isso nos ajuda a simplificar a fração para decompor em frações parciais.
Passo 3
Agora, expressamos como uma soma de frações parciais:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Substituindo na terceira:
Então, e
Passo 7
Agora, substituímos os valores de , e na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 9
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos decompô-la:
Podemos separar em duas frações:
Passo 10
Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
Mas temos apenas , então ajustamos:
Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador: