Suponha que esta sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de . Qual a taxa de variacão de crescimento do raio quando este é de 5 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um balão esférico que está enchendo de ar, e o volume do balão está aumentando a uma taxa de . Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo quando ele mede 5 cm. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de uma esfera. A fórmula é:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio do balão,
  • é uma constante (aproximadamente 3,1416).

Passo 3

Agora, queremos saber como o raio está mudando com o tempo conforme o volume está aumentando. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Fazendo isso, temos:
Aqui:
  • é a taxa de variação do volume,
  • é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos isolar na equação para descobrir a taxa de variação do raio:

Passo 5

Sabemos que e que queremos encontrar quando . Substituindo esses valores na equação:
Calculando o valor numérico:

Resposta

A taxa de variação do raio quando ele é de 5 cm é aproximadamente .

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