Suponha que esta sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variacão de crescimento do raio quando este é de 5 cm ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um balão esférico que está enchendo de ar, e o volume do balão está aumentando a uma taxa de
. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo quando ele mede 5 cm. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de uma esfera. A fórmula é:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio do balão, -
é uma constante (aproximadamente 3,1416).
Passo 3
Agora, queremos saber como o raio
está mudando com o tempo conforme o volume
está aumentando. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Fazendo isso, temos:
Aqui:
-
é a taxa de variação do volume, -
é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos isolar
na equação para descobrir a taxa de variação do raio:
Passo 5
Sabemos que
e que queremos encontrar
quando
. Substituindo esses valores na equação:
Calculando o valor numérico:
Resposta
A taxa de variação do raio quando ele é de 5 cm é aproximadamente
.