Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: temos uma janela formada por um retângulo com um triângulo equilátero em cima. O perímetro total dessa janela é de 4 metros. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do retângulo que dão a maior área possível para a janela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre perímetro e área, além de um pouco de cálculo para otimizar a área.

Passo 2

Vamos chamar a largura do retângulo de metros e a altura do retângulo de metros. Como o triângulo é equilátero, cada lado dele também tem comprimento metros.

Passo 3

Agora, vamos expressar o perímetro total da janela. O perímetro inclui os lados do retângulo e os lados do triângulo.
O perímetro do retângulo é dado por:
O perímetro do triângulo equilátero é:
Então, o perímetro total é:

Passo 4

Vamos simplificar a equação do perímetro:
Agora, queremos isolar uma das variáveis, digamos :

Passo 5

A área total da janela é a soma da área do retângulo com a ��rea do triângulo equilátero.
A área do retângulo é:
â
A área de um triângulo equilátero é:
â
Então, a área total é:

Passo 6

Substituímos da equação do perímetro na fórmula da área:

Passo 7

Simplificamos a expressão da área:

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza a área, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Racionalizamos o denominador:

Passo 11

Agora, encontramos usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo :

Resposta

As dimensões do retângulo que proporcionam a área máxima para a janela são:
  • Largura: metros
  • Altura: metros

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Use a definição de derivada de uma função real para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto , em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
© .
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para , temos que e
A reta tangente procurada é , e basta substituir os valores acima.
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva no ponto é .
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular , caso exista, e terá equação . Aqui, temos que e . Então e , o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto é . Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é tem velocidade 3 em .
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em . Logo, temos que e
A função é diferenciável em .
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas . Portanto .
Se existe, então .
Comentário: Sim, pois se existe, então é contínua em .
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(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
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(a)
(b)
©
(d)
(e)