Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado: temos uma janela formada por um retângulo com um triângulo equilátero em cima. O perímetro total dessa janela é de 4 metros. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do retângulo que dão a maior área possível para a janela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre perímetro e área, além de um pouco de cálculo para otimizar a área.
Passo 2
Vamos chamar a largura do retângulo de
metros e a altura do retângulo de
metros. Como o triângulo é equilátero, cada lado dele também tem comprimento
metros.
Passo 3
Agora, vamos expressar o perímetro total da janela. O perímetro inclui os lados do retângulo e os lados do triângulo.
O perímetro do retângulo é dado por:
O perímetro do triângulo equilátero é:
Então, o perímetro total é:
Passo 4
Vamos simplificar a equação do perímetro:
Agora, queremos isolar uma das variáveis, digamos
:
Passo 5
A área total da janela é a soma da área do retângulo com a ��rea do triângulo equilátero.
A área do retângulo é:
A área de um triângulo equilátero é:
Então, a área total
é:
Passo 6
Substituímos
da equação do perímetro na fórmula da área:
Passo 7
Simplificamos a expressão da área:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Racionalizamos o denominador:
Passo 11
Agora, encontramos
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões do retângulo que proporcionam a área máxima para a janela são:
- Largura:
metros - Altura:
metros
Exercícios relacionados
Use a definição de derivada de uma função real para calcular
e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
, em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
© .
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para , temos que
e
(a)
(b)
©
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
A reta tangente procurada é
, e basta substituir os valores acima.
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular
, caso exista, e terá equação
. Aqui, temos que
e
. Então
e
, o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto
é
. Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é
tem velocidade 3 em
.
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em
. Logo, temos que
e
A função
é diferenciável em
.
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas
. Portanto
.
Se
existe, então
.
Comentário: Sim, pois se existe, então
é contínua em
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto
Comentário: A velocidade em
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe
Comentário: Sim, pois se
Inscreva numa esfera de raio
:
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)