Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado: temos uma janela formada por um retângulo com um triângulo equilátero em cima. O perímetro total dessa janela é de 4 metros. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do retângulo que dão a maior área possível para a janela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre perímetro e área, além de um pouco de cálculo para otimizar a área.
Passo 2
Vamos chamar a largura do retângulo de
metros e a altura do retângulo de
metros. Como o triângulo é equilátero, cada lado dele também tem comprimento
metros.
Passo 3
Agora, vamos expressar o perímetro total da janela. O perímetro inclui os lados do retângulo e os lados do triângulo.
O perímetro do retângulo é dado por:
O perímetro do triângulo equilátero é:
Então, o perímetro total é:
Passo 4
Vamos simplificar a equação do perímetro:
Agora, queremos isolar uma das variáveis, digamos
:
Passo 5
A área total da janela é a soma da área do retângulo com a ��rea do triângulo equilátero.
A área do retângulo é:
A área de um triângulo equilátero é:
Então, a área total
é:
Passo 6
Substituímos
da equação do perímetro na fórmula da área:
Passo 7
Simplificamos a expressão da área:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Racionalizamos o denominador:
Passo 11
Agora, encontramos
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões do retângulo que proporcionam a área máxima para a janela são:
- Largura:
metros - Altura:
metros