Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A imagem da função
, dada por
, para
, é o intervalo
.
( ) A imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a imagem da função
, dada por
, é o intervalo
. Vamos trabalhar com conceitos de funções, especificamente imagens de funções, e funções quadráticas. Para resolver, vamos descobrir todos os possíveis valores que
pode assumir quando
varia em todos os números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática, pois o termo de maior grau é
. Funções quadráticas têm gráficos que são parábolas.
Passo 3
Sabemos que
(o quadrado de
) é sempre positivo ou zero, independente do valor de
. Isso porque qualquer número real ao quadrado resulta em um número não negativo. Assim, temos:
Passo 4
Agora, olhamos para a função
. Como
, então
. Portanto:
Ou seja, o valor de
nunca será maior que 4.
Passo 5
Além disso, como
pode ser qualquer número não negativo,
pode assumir quaisquer valores menores ou iguais a 4. Não há um limite inferior para
, já que
pode crescer indefinidamente, fazendo
tender para menos infinito.
Passo 6
Dessa forma, a imagem da função
é realmente o intervalo
. Portanto, a afirmação apresentada é Verdadeira (V).
Resposta
Verdadeiro (V). A imagem da função
é o intervalo
.