Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A imagem da função f: R -> R, dada por f(x) = 4 - x^2, para x em R, é o intervalo (-infinito, 4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a imagem da função , dada por , é o intervalo . Vamos trabalhar com conceitos de funções, especificamente imagens de funções, e funções quadráticas. Para resolver, vamos descobrir todos os possíveis valores que pode assumir quando varia em todos os números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática, pois o termo de maior grau é . Funções quadráticas têm gráficos que são parábolas.

Passo 3

Sabemos que (o quadrado de ) é sempre positivo ou zero, independente do valor de . Isso porque qualquer número real ao quadrado resulta em um número não negativo. Assim, temos:

Passo 4

Agora, olhamos para a função . Como , então . Portanto:
Ou seja, o valor de nunca será maior que 4.

Passo 5

Além disso, como pode ser qualquer número não negativo, pode assumir quaisquer valores menores ou iguais a 4. Não há um limite inferior para , já que pode crescer indefinidamente, fazendo tender para menos infinito.

Passo 6

Dessa forma, a imagem da função é realmente o intervalo . Portanto, a afirmação apresentada é Verdadeira (V).

Resposta

Verdadeiro (V). A imagem da função é o intervalo .

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