Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A imagem da função f: (-pi/2, pi/2) -> R, dada por f(x) = sen(x) / cos(x), para x in (-pi/2, pi/2), é toda a reta R.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função trigonométrica definida no intervalo , especificamente . O objetivo é descobrir se a imagem dessa função é toda a reta dos números reais R. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função tangente, já que f(x) é igual a .

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que é a definição da função tangente, ou seja, . A tangente está relacionada às razões entre os lados de um triângulo retângulo e também tem propriedades específicas no círculo trigonométrico.

Passo 3

Vamos analisar o domínio da função tangente. A tangente está definida para todos os valores de x onde , porque divisão por zero não é permitida. Dentro do intervalo dado , o cosseno nunca chega a zero, então a função está bem definida nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos ver como a função tangente se comporta nesse intervalo. Sabemos que:
  • Conforme x se aproxima de pi / 2, tende a zero positivo, fazendo com que (ou seja, ) tenda a +infinito.
  • Conforme x se aproxima de , também tende a zero, mas de forma negativa, fazendo com que tenda a -infinito.
Além disso, a tangente é uma função contínua nesse intervalo, o que significa que ela assume todos os valores entre -infinito e +infinito sem “pular” nenhum valor.

Passo 5

Como a tangente se estende de -infinito a +infinito de forma contínua no intervalo , concluímos que a imagem da função nesse intervalo é todo o conjunto dos números reais R.

Resposta

A afirmação é verdadeira (V).

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