Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A imagem da função
, dada por
, para
, é toda a reta
.
( ) A imagem da função
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função trigonométrica definida no intervalo
, especificamente
. O objetivo é descobrir se a imagem dessa função é toda a reta dos números reais
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função tangente, já que
é igual a
.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
é a definição da função tangente, ou seja,
. A tangente está relacionada às razões entre os lados de um triângulo retângulo e também tem propriedades específicas no círculo trigonométrico.
Passo 3
Vamos analisar o domínio da função tangente. A tangente está definida para todos os valores de
onde
, porque divisão por zero não é permitida. Dentro do intervalo dado
, o cosseno nunca chega a zero, então a função está bem definida nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos ver como a função tangente se comporta nesse intervalo. Sabemos que:
- Conforme
se aproxima de , tende a zero positivo, fazendo com que (ou seja, ) tenda a . - Conforme
se aproxima de , também tende a zero, mas de forma negativa, fazendo com que tenda a .
Além disso, a tangente é uma função contínua nesse intervalo, o que significa que ela assume todos os valores entre
e
sem “pular” nenhum valor.
Passo 5
Como a tangente se estende de
a
de forma contínua no intervalo
, concluímos que a imagem da função
nesse intervalo é todo o conjunto dos números reais
.
Resposta
A afirmação é verdadeira (V).