Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) O domínio da função
, cuja lei de associação é
, pode ser o intervalo
.
( ) O domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa questão juntos! A afirmação diz que o domínio da função
pode ser o intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como determinar onde a expressão dentro da raiz quadrada está definida e é não negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida. No caso da nossa função
, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Então, temos que:
Agora, vamos resolver essa desigualdade. Para que a fração seja maior ou igual a zero, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
Passo 4
Vamos analisar os dois casos:
-
Numerador
e Denominador : -
-
implica
Então,está no intervalo . -
-
Numerador
e Denominador : -
-
implica
Mas não existe nenhumque seja ao mesmo tempo e . Portanto, esse caso não contribui para o domínio. -
Passo 5
Portanto, o único intervalo válido é
. Isso significa que a função está definida para todos os valores de
entre 0 e 2, incluindo 0, mas excluindo 2.
Resposta
Verdadeiro. O domínio da função
pode ser o intervalo
.