Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) O domínio da função f, cuja lei de associação é f(x) = raiz(x / (2 - x)), pode ser o intervalo [0, 2).

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão juntos! A afirmação diz que o domínio da função pode ser o intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como determinar onde a expressão dentro da raiz quadrada está definida e é não negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida. No caso da nossa função , precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Então, temos que:
Agora, vamos resolver essa desigualdade. Para que a fração seja maior ou igual a zero, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.

Passo 4

Vamos analisar os dois casos:
  1. Numerador e Denominador :
    • implica
    Então, está no intervalo .
  2. Numerador e Denominador :
    • implica
    Mas não existe nenhum que seja ao mesmo tempo e . Portanto, esse caso não contribui para o domínio.

Passo 5

Portanto, o único intervalo válido é . Isso significa que a função está definida para todos os valores de entre 0 e 2, incluindo 0, mas excluindo 2.

Resposta

Verdadeiro. O domínio da função pode ser o intervalo .

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