(iii) Quando uma função é bijetora? Como caraterizar a bijetividade de uma função analisando a representação geométrica do seu gráfico?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta: Quando uma função é bijetora? Como caracterizar a bijetividade de uma função analisando a representação geométrica do seu gráfico?
Aqui, estamos falando sobre funções bijetoras, que envolvem os conceitos de injetividade e sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada termo e como podemos identificar essas características olhando o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora (ou um-para-um). Uma função é injetora quando cada elemento do conjunto de partida está mapeado para um elemento único no conjunto de chegada, ou seja, não há dois elementos diferentes no domínio que apontam para o mesmo elemento no contradomínio.
Passo 3
Agora, uma função é sobrejetora quando cada elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Isso significa que não sobra nenhum elemento no contradomínio que não seja a imagem de algum elemento do domínio.
Passo 4
Uma função é bijetora quando ela é simultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio, e todos os elementos do contradomínio são atingidos.
Passo 5
Para analisar a bijetividade pelo gráfico da função, usamos dois testes geométricos:
-
Teste da Linha Horizontal: Se qualquer linha horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto, a função é injetora. Isso garante que não há dois valores de
que resultem no mesmo . -
Teste da Linha Vertical: Geralmente todas as funções passam nesse teste porque já são funções (cada
tem apenas um ). Para a sobrejetividade, precisamos verificar se o gráfico cobre todo o conjunto de chegada. Por exemplo, se estamos trabalhando com funções reais para reais, o gráfico deve estender-se infinitamente nas direções vertical e horizontal para garantir que todos os são alcançados.
Resposta
Uma função é bijetora quando ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Geometricamente, isso significa que o gráfico da função passa no teste da linha horizontal (cada linha horizontal corta o gráfico em no máximo um ponto) e cobre todo o conjunto de chegada, garantindo que cada elemento do contradomínio é atingido. Assim, ao verificar o gráfico de uma função, se ele satisfaz essas condições, a função é bijetora.