(iii) Quando uma função é bijetora? Como caraterizar a bijetividade de uma função analisando a representação geométrica do seu gráfico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta: Quando uma função é bijetora? Como caracterizar a bijetividade de uma função analisando a representação geométrica do seu gráfico?
Aqui, estamos falando sobre funções bijetoras, que envolvem os conceitos de injetividade e sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada termo e como podemos identificar essas características olhando o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora (ou um-para-um). Uma função é injetora quando cada elemento do conjunto de partida está mapeado para um elemento único no conjunto de chegada, ou seja, não há dois elementos diferentes no domínio que apontam para o mesmo elemento no contradomínio.

Passo 3

Agora, uma função é sobrejetora quando cada elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Isso significa que não sobra nenhum elemento no contradomínio que não seja a imagem de algum elemento do domínio.

Passo 4

Uma função é bijetora quando ela é simultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio, e todos os elementos do contradomínio são atingidos.

Passo 5

Para analisar a bijetividade pelo gráfico da função, usamos dois testes geométricos:
  1. Teste da Linha Horizontal: Se qualquer linha horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto, a função é injetora. Isso garante que não há dois valores de que resultem no mesmo .
  2. Teste da Linha Vertical: Geralmente todas as funções passam nesse teste porque já são funções (cada tem apenas um ). Para a sobrejetividade, precisamos verificar se o gráfico cobre todo o conjunto de chegada. Por exemplo, se estamos trabalhando com funções reais para reais, o gráfico deve estender-se infinitamente nas direções vertical e horizontal para garantir que todos os são alcançados.

Resposta

Uma função é bijetora quando ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Geometricamente, isso significa que o gráfico da função passa no teste da linha horizontal (cada linha horizontal corta o gráfico em no máximo um ponto) e cobre todo o conjunto de chegada, garantindo que cada elemento do contradomínio é atingido. Assim, ao verificar o gráfico de uma função, se ele satisfaz essas condições, a função é bijetora.

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